• загрузка...
    5

4.2. Сферическая теорема синусов

загрузка...

Докажем теперь сферическую теорему синусов, аналогичную теореме синусов плоской тригоно­метрии. Из формулы (19) вытекает равенство

cos Л =

а          Ь с «

cos      cos — cos —

г           г jr_

. b . с • sin — sin — г г

Применяя это равенство, вычислим отношение

. , а . , а           а

sin — sin1 —            sin —

г           г           г

sin Л 1 —cos1 А      а          b с

cos      cos —cos -

'           г г

. Ь . с sin — sin — г г

. . а Ь . , с sin1 — sin — sin — г г г

. , b . , с ( а     Ь 'с У

sin — • Sttr    COS   COS — COS 1

/- r \ r   r r )

. , a . , b . , с sin2 — sin2 — sin2 — r r

7.         2 C \ f ° Ь С Y

( 1 —COS —111 —COSz -y J — I COS ——COS — COS— I

- г a ■ 2 b ■ tc

sin — sinz — smz — r r r

. - a , b t с _ a b с

1 —COS        COS   cos      1- 2 cos — cos —cos —

r           r           r           r r r

Так как полученное выражение симметрично относительно сто рон а, Ь, с, то оно равно аналогичным выражениям, полученным из левой части этого равенства заменой сторон а, Ь, с и углов А, В, С в круговом порядке. Извлекая квадратный корень из этих выражений, мы получим три равные выражения:

. а . b   с

sin — sin — sin —

sin A sin В sin С

Эта формула и выражает сферическую теорему синусов, которую обычно формулируют в виде (для г—1): синусы сторон сфериче­ского треугольника относятся, как синусы противолежащих углов. Из формулы (22), в частности, видно, что если в сфериче­ском треугольнике имеет место соотношение В—п — А, так что

sin В sin Л, то в силу формулы (22) sin sin ~ , т. е. либо а = 6. либо b = nr—а. Но если а — Ь, то А —В и в соответствии с соот­ношением В= л—А это дает Л = В=-^-. Следовательно, С—полюс

it

стороны АВ, и потому a—b = -^-r. Таким образом, соотношение

Ь = лг — а справедливо и в этом случае. Итак, если В — п — А, то стороны а и b связаны соотношением Ь = лг — а.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я