• 5

§ 4. Тригонометрические соотношения в сферическом треугольнике')

4.1. Сферическая теорема косинусов. Рассмотрим произвольный сферический треугольник АБС (напомним, что каждая его Сторона меньше я г).

Прежде всего докажем сферическую теорему косинусов, анало­гичную теореме косинусов плоской тригонометрии; доказательство сферической теоремы косинусов, как мы увидим, существенно опи- ^ рается на плоскую теорему коси­нусов.

Предположим сначала, что ка­ждая из сторон b и с сферического

треугольника ABC меньше -^-г.

Проведем из точки А касательные AM и AN к сторонам с и b и найдем точки М и N пересечения этих касательных с продолжения­ми радиусов ОБ и ОС (рис. 44); эти точки пересечения сущест­вуют, так тГак, по предположению,

каждый из. углов АОС, АОВ меньше    Тогда угол А равен

углу MAN, и для плоского треугольника MAN в силу плоской теоремы косинусов получаем

MN1 = AN1 + AM* — '2AN- AM cos A.     (13)

 

■) См. также п. 6.2 статьи «Векторы и их применение в геометрии», стр. 368.

35 Энциклопедия, кн. 4

С другой стороны, углы ВОС, АОС и АОВ, являющиеся цент­ральными углами больших окружностей сферы, опирающимися на

дуги а, Ь, с, соответственно равны ~, — и у . Поэтому из тре­угольника OMN находим

MN* = ОМ* + ON* — 20/И • ON cos у.     (14)

Сравнивая (13) и (14), получаем

ОМ* -4- ON1 — 2ОМ • ON cos у = AN* + AM* — 2AN- AM cos A. (15) Из прямоугольного треугольника ОМА находим, что

ОМ* - AM* = OA*. ^-=cos i-. ^ = sinf, (16)

а из прямоугольного треугольника ONA находим, что

^лд лач ^ лг OA        b AN . Ь

ON* — AN* = OA*, — = cos —, zttt — sin —.      (17)

ON      r ON    r           x '

В силу первых формул (16) и (17) равенство (15) можно пере­писать в виде

2ОМ-ON cos у = 2OA' + 2AN- Л/V- AM cos A,

т. e.

ОМ- ON cos у = OA* -f- AN- AM cos A.    (18)

Разделив (18) на произведение ОМ-ON, получим a OA OA , AN AM .

C0S — = 7П1 ' 7Г77 + 7ГГГ • TvJT COS A

г OM ON ' ON OM или, в силу вторых и третьих равенств (16) и (17),

а          Ь с , . г> . с .

cos — = cos — cos  b sin— sin — cos A.            (19)

г           r r 1 r r

Если теперь сторона b больше ~г, а сторона с меньше -у г,

то продолжим стороны а и b нашего треугольника до пересечения в точке С', диаметрально противоположной точке С (рис. 45). Тогда в сферическом треугольнике АБС' стороны АС и АВ, соответст­венно равные яг— b и с, меньше уг, а угол ВАС, смежный с углом А, равен я—А. Поэтому в силу формулы (19) для треугольника ABC

cos ^я —у^ — cos ^ л—cos7" + sin ^л — 7") sin 7" cos—

т. е.

a          b с       b . с .

— cos — = — cos — cos    sin — sin — COS Л,

r           r           r           r r

 

Рис. 45.

откуда получаем формулу (19).

Если, наконец, обе стороны b и с больше г, то продолжим стороны b и с нашего тре­угольника до пересечения в точке А' .диаметрально проти­воположной точке Л(рис. 46). Тогда в сферическом тре­угольнике А'ВС стороны СА' и ВА', соответственно равные пг—b и лг— с,

Л

меньше уг, a /_BA'G ра­вен углу А. Поэтому в силу формулы (19) для треугольника А'ВС

cos — cos ^ л—у^ cos —+ sin — y^j sin ^ л—cos Л,

откуда непосредственно получаем формулу (19).

Формула (19) выражает сферическую теорему косинусов, кото­рую обычно формулируют в следующем виде (получающемся при

г = 1, т. е. для сферы еди­ничного радиуса): косинус стороны сферического тре­угольника равен сумме произведения косинусов двух других сторон и про­изведения синусов двух других сторон на косинус угла между ними. Заменяя в формуле (19) обозначения сторон а, Ь, с и углов Л, В, С в круговом порядке, мы получим две аналогичные формулы

b          и с . . а с п     /г,п\

cos — = cos— cos   f- sin — sin — cos В            (20)

r           r r         r r         '

 

Рис. 46.

с          a b , . a . b                 

cos — = cos — cos  b sin — sin — cos C.

r           r r         r r

(21)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я