• 5

3.3. Формула Гаусса — Бонне

Параллельный перенос вектора можно применить к определению площади сферической фигуры, ограниченной дугами окружностей. Прежде всего рассмотрим параллельный перенос вектора вдоль контура сферического многоугольника. Так как стороны сферического многоугольника являются цугами больших окружностей, то при переносе вектора вдоль стороны сферического многоугольника, он не изменяет угла, составляемого им с касательными векторами к этой сто­роне. Этот угол изменяется Только при переходе через вершину много­угольника Действительно, если угол в некоторой вершине многоугольника равен а, то угол между касательными векторами к сторонам этого много­угольника, соответствующими определенному направлению обхода много­угольника, равен л—а (рис 42). Следовательно, угол переносимого век­тора с касательным вектором к стороне многоугольника при переходе через эту вершину изменяется на то же число л—а (рис 43).

Поэтому при переносе вектора вдоль всего контура сферического л-угольника вектор поворачивается после возвращения в исходную точку на угол

Д „ = лл-2„.     (9)

«

Рассмотрим теперь перенос вектора вдоль контура выпуклого сфери­ческого многоугольника. Так как площадь S„ выпуклого сферического я-угольника связана с суммой 2П его внутренних углов соотношением (3),

или, иначе, соотношением

 

ч

5п = ^|2л-(пл-2п)],

то мы получаем, что угол Д„ и пло­щадь S„ связаны соотношением

S„ = r»( 2я-Дп).

(Ю)

Рассмотрим теперь какую-либо выпуклую сферическую фигуру, ог­раниченную дугами окружностей (не обязательно больших). Если мы впи- Рис. 42.   шем в эту фигуру сферические много­

угольники и будем стремить число их сторон к бесконечности таким образом, чтобы длина наибольшей стороны многоугольника стремилась к нулю, то площадь S„ вписанного и-угольника будет стремиться к площади S рассматриваемой фигуры, а угол Д„ будет стремиться к углу Д. на который поворачивается ьектор при параллель­ном переносе вдоль всего контура этой фигуры после возвращения век­тора в исходную точку. Поэтому, переходя в равенстве (10) к пределу, мы получим, что площадь S фигуры и угол Д связаны соотношением

S =г® (2л — Д),        (11)

составляющим частный случай знаменитой 'формулы Г аусса — Бонне.

В качестве примера применим формулу (11) к вычислению плошали сферического круга. В случае

сферического круга радиуса R ft

угол Д равен 2л cos— (См. фор­

мулу (7)). случае

Поэтому в этом

S = 2nr2 ^1—cos-^-j =

 

Рис. 43.

= 4пгг sin1 .

т. е. мы сгова получили фор­мулу (6).

В случае сферической фи- туры, ограниченной произ­вольным контуром, состоящим из дуг окружностей, угол Д представляет собой сумму углов Дсмежных с внутренними углами этой фигуры (как в случае сферического многоугольника) и произведений kfi^, где s,-—геоде­зические кривизны дуг, ограничивающих фигуру, a s,-—длины втих дуг, т. е. формулу (Ш в этом случае можно переписать в виде

(12)

 

Перенос вектора можно определить и вдоль произвольной глад­кой линии: в этом случае касательные плоскости в точках этой линии касаются уже не конуса или цилиндра, а поверхности, образованной

касательными к пространственной линии; гакую поверхность, так же как конус или цилиндр, можно «развернуть» на плоскость. В этом случае можно определить геодезическую кривизну линии на сфере в каждой ее точке как предел отношения поворота вектора при переносе вдоль дуги линии к длине этой дуги при стягивании этой дуги в данную точку; в общем случае геодезическая кривизна изменяется от точки к точке и является постоянной только для окружностей. Площадь сферической фигуры, ограниченной произвольной гладкой линией, можно определить по той же формуле (11), что и для рассматриваемых нами фигур, причем эту формулу можно также переписать в виде, отличающемся от формулы (12)

заменой суммы У, k.s, интегралом ^ lids от геодезической кривизны контура

С

по длине его дуги. Соответствующая формула и является общей форму­лой Гаусса — Бонне для случая сферической поверхности.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я