• 5

3.2. Геодезическая кривизна малой окружности

Подобно тому как •окружности на плоскости характеризуются кривизной — величиной, обратной радиусу, которую можно рассматривать как меру отклонения окружности от прямой, на сфере окружности также можно характеризовать некоторым числом, равным нулю для больших окружностей и характеризующим для малых окружностей степень отклонения этой окружности ^ от большой окружности. Так как большие окружности называют геодези­ческими линиями, то это число, которое мы сейчас определим называют геодезической кривизной малой окружности. Для определе­ния геодезической кривизны будем рассма­тривать векторы, расположенные в плоско­стях и касающиеся сферы в точках данной окружности, причем начало векторов будем считать совпадающим с точкой касания (рис. 38). Для этих векторов следующим образом можно определить параллельный пере­нос вдоль окружности Касательные пло­скости к сфере в точках окружности явля­ются в то же время касательными плоскостя-   Рис. 38. ми к прямому круговому конусу в случае

малой окружности (рис. 39) и к прямому круговому цилиндру в случае большой окружности (рис. 40). Если мы развернем построенный таким образом конус или цилиндр на плоскость, то наша окружность развер­нется на плоскость в виде окружности или прямой. Данный вектор при нашем развертывании совпадет с некоторым вектором на плоскости. Пере­несем теперь этот вектор на плоскости параллельно в какую нибудь дру­гую точку окружности или прямой, полученной нами при развертывании. Вектор, полученный в результате этого переноса, перейдет при обратном накладывании конуса или цилиндра на сферу в некоторый вектор в каса­тельной плоскости к сфере в соответственной точке окружности Этот последний вектор мы будем называть вектором, полученным из первоначаль­ного вектора с помощью параллельного переноса вдоль окружности. На рис 39 изображен параллельный перенос вектора вдоль малой окружности.

Рассмотрим теперь такой параллельный перенос, при котором перено­симый вектор, обойдя всю окружность, возвращается в исходную точку. В случае большой окружности, которая при развертывании цилиндра на

 

 

плоскость переходит в прямую линию, в результате такого параллельного переноса вектор после возвращения совпадает со своим первоначальным положением (рис. 40). В случае же малой окружности, которая при раз ^    вертывании конуса на плоскость пере-

ходит в окружность, в результате такого Jf' lv \          параллельного переноса вектор после

возвращения уже не совпадает со своим У^-"--—Т-РТ^-Оч            первоначальным положением, а повора

J&ff—Yv^vW чивается на некоторый угол (рис. 41).

Рис. 39.

 

Нетрудно видеть, что этот угол бучет одним и тем же для любых пере­носимых векторов. Будем называть геодезической кривизной окружности на

сфере отношение определенного таким об-

^—                  —разом угла к длине этой окружности.

Так как в случае большой окружности вектор при переносе совпадает со своим первоначальным положением, то геодези­ческая кривизна большой окружности рав­на нулю.

В случае малой окружности вектор при переносе поворачивается на угол, равный углу при вершине сектора, в виде которого конус разворачивается на пло­скость (рис. 41). Этот угол равен отношению

Рис. 40

длины дуги этого сектора (равной длине окружности основания конуса) к ра диусу сектора, равному длине прямолинейной образующей конуса. Так как окружность основания конуса совпадает с данной окружностью, то ее

длина равна C = 2nrsm — . Прямолинейная образующая / конуса является

катетом прямоугольного треугольника, второй катет которого равен

радиусу г сферы. а противолежащий

R

угол равен отношению —; отсюда

 

 

 

Рис. 41

R

видно, что l = rtg — . Поэтому угол Д поворота вектора при параллельном переносе вдоль малой окружности радиуса R равен

л с о Я А = — = 2я cos — I г

а геодезическая кривизна малой окружности радиуса R равна

а д 1 - я

«= —=— ctg—. с Г & г

(7)

(8)

Заметим, что в пределе, когда радиус R малой окружности стремится к радиусу большой окружности, геодезическая кривизна k стремится к нулю.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я