• 5

§ 3. Малые окружности

3.1. Окружности и углы на сфере. Как мы видели в § 1, сечение сферы плоскостью, не проходящей через ее центр, является малой окружностью. Так как всякие три точки сферы определяют единственную плоскость, то через всякие три точки сферы, не лежащие на боль­шой окружности, можно провести един­ственную малую окружность (рис. 36).

Так как плоскость делит пространство на две области, то малая окружность делит сферу на две области, называ­ющиеся сферическими сегментами. Та из этих областей, которая не выходит за пределы полусферы, называется сфери­ческим кругом.

Так кдк при повороте вокруг диаметра сферы, перпендикулярного к плоскости.        Рис. 36.

высекающей из сферы малую окружность,

эта окружность переходит в себя (ибо этот перпендикуляр является осью рассматриваемой окружности), то сферическое расстояние точек окружности от концов перпендикулярного ей диаметра сферы, посто­янно. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной ее точки переходит в себя при повороте вокруг диаметра, проходящего через эту точку, т. е. является малой окружностью (высекаемой из сферы плоскостью, перпендикулярной этому диаметру). Таким образом, малая окружность является, геометрическим

') См например, книгу Д. И. Перепелкина (2J, указанную в конце статьи.

 

местом точек сферы, равноотстоящих от одной точки сферы-, эти точки равноотстоят и от диаметрально противоположной ей точки. Та из этих точек, для которой сферическое расстояние ее

от точек малой окружности меньше      называется сферическим

центром малой окружности, а сферическое расстояние точек малой окружности до ее сферического центра называется сферическим радиусом малой окружности. Очевидно, что сферический центр малой окружности принадлежит ограничивающему его сферическому кругу. Полюсы больших окружностей можно также рассматривать как сферические центры этих окружностей; сферическим радиусом

большой окружности следует счи­тать число ~ г.

Так как большие окружности, проходящие через центр малой окруж­ности, перпендикулярны поляре центра малой окружности, то рас­стояние от точек малой окружности до этой большой окружности (изме­ряемое по «сферическому перпенди­куляру») равно дополнению сфери­ческого радиуса окружности до

Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной ее Рис. 37.           большой окружности и расположен­

ных по одну сторону от нее, является геометрическим местом точек, равноотстоящих от одного ее полюса, т. е. является малой окружностью. Таким образом, малая окружность является геометрическим местом точек сферы, равноотстоящих от одной большой окружности и расположенных по одну сто­рону от нее. Эта большая окружность называется базой малой окружности, а расстояние точек малой окружности до базы назы­вается параметром малой окружности. Очевидно, что сферический

л

радиус R и параметр Р малой окружности составляют в сумме г.

На рис. 37 изображены центр и база малой окружности.

Пусть центр малой окружности в эе плоскости —точка Q, радиус

ее — число р, а М—произвольная точка этой окружности (рис. 37), к ft

т. е. ОМ —г, QM—O, a /MOQ— —. Тогда из прямоугольного

г ft

треугольника OQM мы найдем, что e = rsin —, т. е. длина окруж­ности сферического радиуса R равна

С = 2лг sin ~ .           (4)

 

С другой стороны, так как sin — = cos — , то длина окружности параметра Р равна

р

C=2jircos — .            (5)

Так как сферический круг, ограничиваемый окружностью сфери­ческого радиуса r, представляет собой сферический сегмент высоты

h = г ^ 1 — cos -y-^j = 2г sin , а площадь всякого сферического слоя

1в частности, сферического сегмента) высоты h равна 2лгЛ, где г — радиус сферы, то площадь сферического круга радиуса R равна

s = 4лгг sin2 ~ .        (6)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я