• 5

2.5. Площадь сферического треугольника

Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырем требованиям 1):

1)         площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности; здесь предполагается, что сферическая фигура содержит сферический треугольник),

2)         площадь сферической фигуры не изменяется при движении сферы (свойство инвариантности),

3)         если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),

4)         площадь всей сферы радиуса г равна 4лг2 (свойство нормировки).

') Ср. со статьей о площадях и объемах в кн. V ЭЭМ.

 

Прежде всего найдем площадь двуугольника. Из свойства ад­дитивности, инвариантности и нормировки следует, что ес/]и разде­лить сферу на п равных двуугольников (рис. 32), то площадь

каждого из них (т. е. площадь двуугольника с углом —I равна лг2. Поэтому площадь двуугольника с углом ^^ . составленного

w , t

из т рассмотренных двуугольников, равна — - 4яг , а если угол

л          2ят      2л (т +1)

некоторого двуугольника больше —— и меньше ——-, то пло-

т . , т+1. г щадь этого двуугольника заключена между — 4яг и —— 4лг (это

Рис. 32.

Рис. 33.

вытекает из первого и третьего свойств площади). Неограниченно увеличивая число п, мы можем с помощью предельного перехода найти .площадь любого двуугольника: площадь двуугольника, углы при вершинах которого равны а, равна

S (а) = т£- 4яг2 = 2гга,

*           гп

т. е.

S (а) = 2гг ■ а.          (1)

Если нам дан сферический треугольник ABC, то пара боль­ших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны углу сферического треуголь­ника между этими сторонами (рис. 33). Всего таким образом полу­чается шесть двуугольников, два с углом А, два — с углом В и два—с углом С. Треугольник ABC и диаметрально противополож­ный ему треугольник А'В'С' (равный треугольнику ABC),"входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на сторо­нах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому

 

сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади 5 всей сферы и учетверенной площади 5(Д) треугольника ABC, т. е.

Так как

S(A) = 2rM. S (В) = 2r2B. S(C) = 2rtC, то мы получаем

4гг (А + В+ С) = 4яг2 Н- 4S (Д),

т. е.

S (А) = г2 (АВС—Я).           (2)

Так как величины 5(Д) и г2 положительны, то величина А+В-\-С—я также положительна, откуда следует, что

Л + В + С>я,

т. е. сумма углов сферического треугольника больше развернутого

                        угла. Величина А-\-В-\-С—я на-

^ч.       зывается угловым избытком сфе-

/           \ рического треугольника.

Рис. 34.

Рис. 35.

Таким образом, площадь сферического треугольника равна про­изведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы. Заменяя в последнем неравенстве углы .4, В и С равными им

п.' h' с' выражениями я — —, я——, л  где, а', б', с'—стороны поляр-

Т          Г          г

ного треугольника, мы получим неравенство

а' +с' < 2яг,

показывающее, что сумма сторон сферического треугольника меньше длины большой окружности.

будем называть сферическим многоугольником часть сферы, ограничен­ную замкнутой линней (не пересекающей самое себя), состоящей из дуг больших окружностей. Дуги больших окружностей, ограничивающие сфе­рический многоугольник, назьваются его сторонами, концы этих дуг

называются его вершинами, а углы, образуемые сторонами сферического многоугольника в его вершинах, называются углами сферического много­угольника.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он находится по одну сторону от каждой большой окружности, проходящей через сто­рону многоугольника (рис. 34). Соединяя одну из вершин выпуклого сфе­рического я-угольннка дугами больших окружностей со всеми другими вершинами этого многоугольника, мы разделим его на п—2 сферических треугольника (рис. 35) Площадь выпуклого сферического л-угольника. очевидно, равна сумме площадей этих п — 2 сферических треугольников. Поэтому, так как сумма углов всех п — 2 сферических треугольников равна сумме 2„ углов сферического л-угольника. площадь Sn выпуклого сфериче­ского п-угольника равна

8п = г*[Ъп-(п-2)п\,    (3)

где 2„ — сумма всех его внутренних углов.

Эта теорема остается справедливой н для невыпуклых сфериче­ских многоугольников ').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я