• 5

2.4. Большая окружность как кратчайшая

Во всяком сфериче­ском треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности. В'самом деле пусть ABC—произвольный сфериче­ский треугольник. Допустим, что из двух сторон АВ, АС сторона АС • большая. Отложим на стороне АС дугу АВ', равную дуге АВ (рис. 29). Проведем какую-нибудь плоскость, проходящую через точки В, В' и пересекающую лучи OA и ОС (а не их продолжения !) в точках Л, и С,.

Треугольники ОАхВ и OAtB' равны, (так как они имеют общую сторону OAlt равные стороны ОВ и ОВ' и равные углы при вершине О). Следовательно, AlB=AiB'. Так как точки .4,, В' и С, лежат на одной прямой (являющейся ли­нией пересечения плоскостей ОАС и АХВСХ), причем точка В' лежит между Ах и С,, то

 

Рис. 29.

B'Cl = AlCl — AXB' = АУСХ -

-А^ВС,.

Рассмотрим теперь треугольники ОВС, и ов'сВ этих треуголь­никах осг—общая сторона и ов—ов', а третьи стороны связаны неравенством в'сх<.всг Следовательно, углы, лежащие в этих тре­угольниках против неравных сторон, связаны неравенством / в'ос,

/ восл. Поэтому дуга в'с, стягиваемая углом в'ос, гакже меньше дуги bct, стягиваемой углом восх. Иначе говоря,

ас— ав = лс—ав' = в7с<вс, т. е. каждая сторона сферического треугольника больше разности двух других его сторон. Отсюда, в свою очередь, вытекает (после

прибавления слагаемого АВ к обеим частям полученного неравенства), что

Тс<ав+вс.

т.е. каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Из доказанной теоремы, гак же как в плоской геометрии, сле- тует, что во всяком сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны ле­жит больший угол.

Далее, из того, что в сфери­ческом треугольнике каждая сто рона меньше суммы двух других сторон, следует, что дуга большой окружности, меньшая, полуок­ружности, короче всякой линии, состоящей из дуг нескольких больших окружностей, соединяющей те же точки сферы (рис. 30); это доказывается в точности так же, как теорема о том, что прямолинейный отрезок на плоскости ко­роче всякой ломаной, соединяющей те же точки '). Так как длину

всякой 2) непрерывной линии на сфере можно со сколь угодно малой

') Тот факт, что рассматривается дуга, меньшая полуокружности, является существенным, так как доказательство приведенного утвер­ждения (рис. 31) основывается на A        ^.AB*BC+CF-£-            рассмотрении цепочки сферических

^АВ+ВС*CD+DE     треугольников, а в любом сфериче­

ском треугольнике каждая сторона Рис. 31.   меньше полуокружности. Совершен­

но ясно, что дуга большой окружности, большая полуокружности, не является кратчайшей.

!) Разумеется, речь идет о «спрямляемых» линиях на сфере (ср. статью о длине кривой и площади поверхности в кн. V ЭЭМ).

 

 

 

ошибкой заменить длиной линии, состоящей из дуг больших окруж­ностей, соединяющих точки данной линии, то дуга большой окруж­ности, меньшая полуокружности, короче всякой непрерывной ли­нии на сфере, соединяющей те же точки сферы, т. е. эта дуга большей окружности является кратчайшей линией на сфере. В этом отношении большая окружность является аналогом прямой ли­нии на плоскости. Отсюда видно, что та линия на земной поверх­ности (предполагаемой сферической), которая получается на ней путем провешивания и которую в малых участках принимают за прямую линию, при достаточном продолжении представляет собой дугу большой окружности. Так как эти линии проводятся на земной поверхности геодезистами, то большие окружности называются также геодезическими линиями на сфере.

Так как кратчайшей линией, соединяющей две точки сферы, является дуга большой окружности (не превосходящая полуокруж­ности), то длину этой дуги называют сферическим расстоянием между двумя точками сферы.

В отличие от плоскости, где невозможны треугольники с двумя прямыми углами, на сфере возможны такие треугольники: это тре­угольники, у которых одна из вершин является полюсом противо­положной стороны; стороны этих треугольников, лежащие против

прямых углов, равны г. Имеются на сфере и треугольники с тремя

прямыми углами: это знакомые нам автополярные треугольники (рис. 26); у автополяриых треугольников все три стороны равны

г. В том случае, когда сферический треугольник обладает только

одним прямым углом, сторона, лежащая против этого угла, так же как в случае плоских прямоугольных треугольников, называется г и- потенузой, а остальные две стороны — катетами.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я