• 5

2.3. Равенство сферических треугольников

Согласно сказанному выше два сферических треугольника называются равными, если их можно совместить друг с другом движением сферы. Очевидно, что между вершинами двух равных сферических треугольников можно установить такое соответствие, при котором и соответственные сто­роны, и соответственные углы этих сфе­рических треугольников равны: для этого надо поставить в соответствие каждой вершине первого сферического треуголь­ника ту вершину второго сферического треугольника, в которую он переходит при совмещении этих сферических тре­угольников.

Равенство сферических треугольников, гак же как равенство плоских треуголь­ников, определяется равенством трех эле­ментов этих треугольников. Имеются шесть признаков равенства сферических треугольников: два сферических тре­угольника равны, если:

[) две стороны одного сферического треугольника равны двум соответственным сторонам другого сферического треугольника и равны углы между этими сторонами-,

II)         два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам другого сферического треугольника и равны стороны между этими углами;

III)        все три стороны одного сферического треугольника равны соответственным сторонам другого сферического треуголь­ника;

IV)       две стороны одного сферического треугольника равны двум соответственным сторонам другого сферического треугольника, углы, лежащие против двух равных сторон, равны, а углы, ле­жащие против двух других равных сторон, одновременно острые или тупые;

V)        два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам другого сферического треугольника, сто­роны, лежащие против двух равных углов, равны, а стороны, ле­жащие против двух других равных углов, одновременно меньше или

больше г;

 

V!) все три угла одного сферического треугольника равны соответственным углам другого сферического треугольника.

Первые четыре из этих признаков равенства аналогичны приз­накам равенства плоских треугольников и доказываются совершенно так же, как аналогичные признаки равенства в плоской геометрии. Далее, V признак равенства сферических треугольников также имеет аналог в плоской геометрии с той только разницей, что в V приз­наке равенства плоских треугольников нет условия, аналогичного условию, сформулированному в конце V признака равенства сфериче­ских треугольников. Доказательство этого признака в плоской гео­метрии тривиально: из того, что два угла одного Треугольника со­ответственно равны двум углам другого треугольника, вытекает, что и третьи углы треугольников равны между собой. В случае сфери­ческих треугольников такое доказательство неприменимо, так как здесь сумма трех углов треугольника не является, как мы уви­дим ниже, постоянной величиной (т. е. эта сумма неодинакова для различных треугольников). Наконец, VI признак равенства сфериче­ских треугольников совсем не имеет аналога в плоской геометрии, где ра­венство соответственных углов двух треугольников является приз­наком не равенства, а подобия треугольников.

Как же доказываются V и VI признаки равенства сферических треугольников? Сравнивая I признак равенства со II, 111 с VI. а IV с V, мы видим, что если для двух сферических треугольников вы­полнен один признак каждой пары, для полярных по отношению к ним треугольников выполнен второй признак той же пары. Поэ­тому, так как из равенства двух сферических треугольников, очевидно, вытекает равенство полярных по отношению к ним треугольников, то из справедливости одного из признаков каждой пары вытекает справедливость второго из признаков той же пары. В частности, справедливость VI признака, не имеющего аналога на плоскости, вытекает из справедливости III признака, а справедливость V приз­нака— из справедливости IV признака.

Условия, указанные в конце IV и V признаков равенства сфери­ческих треугольников, являются существенными. Мы покажем это сейчас на двух простых примерах.

Пример неравных сферических треугольников, в которых имеют место равенства двух пар соответственных сторон и углов, лежащих против двух равных сторон (ср. IV признак), изображен на. рис. 27. Для построения таких сферических треугольников следует взять равнобедренный сферический треугольник ABC с основанием ВС и соединить дугой большой окружности его вершину А с точкой D основания, не являющейся его серединой. Тогда сферические тре­угольники ABD. и ACD имеют общую сторону 4D, равные стороны АВ и АС и равные углы В и С, но их стороны BD и DC не равны по построению.

Пример неравных сферических треугольников, в которых имеют место равенства двух пар соответственных углов и сторон, лежащих против двух равных углов, изображен на рис. 28 (ср. V признак). Для построения таких сферических треугольников следует построить

 

 

 

Рис. 27.

Рис. 28.

сферический треугольник ABC, у которого углы АБС и АСВ допол­няют друг друга до угла я. Далее на продолжении стороны ВС сле­дует взять произвольную точку D и соединить ее дугой большой окружности с точкой А. Сферические треугольники ABD и ACD имеют общий угол D, равные углы ABD и ACD и общую сторону

AD, но их стороны BD и CD не равны по построению.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я