§ 1. Понятие преобразования. Примеры

1.1. Геометрические отображения. Одним из основных понятий современной математики является понятие функции'). Переменная у называется функцией переменной величины х (записывается: у=/(х)), если каждому значению х, взятому из какого-то допустимого мно жества значений (область определения функции) отвечает единственное значение у. При этом правило, позволяющее определить у по данному значению х, может быть задано аналитическими фор­мулами или просто таблицей, в которой перечислены все значения х и отвечающие им у (этот способ задания функции особенно удоэен в том случае, если х может принимать лишь конечное число значе­ний), или каким-либо другим способом (например, словесным описа­нием, как в случае известной функции Дирихле: каждому рациональному значению х отвечает значение у = 1, а иррацио­нальному х—значение _у = 0).

Заметим, что в определении функции вовсе не требуется, чтобы пе­ременные х и у обязательно представляли собой действительные числа. Напротив, в современной математике принимают, что х и у могут быть элементами совершенно произвольной (возможно различной!) природы— комплексными числами !), точками плоскости или пространства, какими- либо геометрическими фигурами, прямыми или произвольными линия­ми и т. д. Так можно сказать, что центр, а также радиус окружности являются функциями этой окружности (здесь область определения функции состоит из всех окружностей, а ее значения являются точками или числами). В последнее время большое место в математике заняло изучение функций у = /(х), где х или даже и х, и у сами являются функциями в старом смысле этого слова, т. е. числовыми функциями*).

') Ср. ЭЭМ, кн. III, статью «Элементарные функции действительного переменного Примеры последовательностей функций. Общее понятие функции», §§ 46 и 54.

*) Функциям комплексного переменного посвящена специальная статья в кн 111 ЭЭМ («Элементарные функции комплексного переменного»)

а) Изучением функций такого рода занимается в современ ой матема­тике специальная большая наука — ф у н к ц и о н а л ь н ы й анализ. Функции у = 1(х), гд. х = х(1) есть функция какого-то переменного I,

В геометрии особо важную роль играют функции _у=ф(х), где как х, так и у являются точками плоскости или пространства. В таком случае слово «функция» заменяют обычно выражением «геометрическое (точечное) отображение». Таким образом, геометри­ческое отображение представляет собой не что иное, как определен­ный вид функциональной зависимости _у=/(х), где как «аргумент» дс, так и «значение функции» у являются точками.

Итак, для задания геометрического (точечного) отображения Ф надо указать: 1) некоторую фигуру (точечное множество) Л, называемую областью определения отображения Ф; 2) не­которую фигуру Л', называемую областью значений ото­бражения Ф, и 3) некоторое правило, сопоставляющее с каждой точкой А области Л определенную точку Л'=Ф(Л) области Л'. Если данное отображение Ф переводит точку А в точку А' (т. е. ф(Л) = Л'), то точку А' называют образом точки А при отобра­жении Ф. Пусть теперь L — некоторая линия (или фигура), целиком расположенная в области Л. Если точка А пробегает линию (или фи­гуру) L. то образ А'=Ф{А) этой точки также пробегает некоторое множество точек L', расположенное в области Л'. Это множество L' называется образом множества L при отображении Ф, что запи­сывается так: L'=Q){L).