• 5

2.2. Полярные треугольники

Всякому сферическому треуголь­нику ABC можно поставить в соответствие другой сферический тре­угольник А'В'С', вершины которого являются полюсами сторон ВС, СА, АВ сферического треугольника ABC, лежащими от этих сторон по ту же сторону, что и соответственно вершины А, В, С (рис 25).

Будем называть сферический треугольник А'В'С' полярным по от­ношению к сферическому треугольнику ABC.

Если сферический треугольник А'В'С' является полярным по отношению к сферическому треугольнику ABC, то и сферический треугольник ABC полярен по отношению к сферическому треу­гольнику А'В'С'. В самом деле, так как точка В' является полю­сом стороны АС, то точка В' полярно сопряжена с точками А и С (рис. 25). Так как точка С' является полюсом стороны АВ, то точка С' полярно сопряжена с точками А и В Но так как точка А по­лярно сопряжена с точками В' и С' стороны В'С', то она явля­ется полюсом стороны В'С'. При этом, так как точки А и А' ле­жат по одну сторону от стороны ВС, то они лежат и по одну сто­рону от стороны В С'. Так же доказывается, что точки В и С тоже являются полюсами сторон С'А' и А'В' и лежат по ту же сторону от этих сторон, что и точки В' и С', т. е. сферический треуголь­ник ABC полярен по отношению к сферическому треугольнику А'В'С'.

Обозначим точки пересечения больших окружностей АВ и АС со стороной В'С' через L и М, точки пересечения больших окруж­ностей ВС и ВА со стороной А'С' через N и Р и точки пересече­ния больших окружностей СА и СВ со стороной А'В' через Q и R (рис. 25). Тогда, если величины углов CAB, ABC и ВСА обозначить через ,4, В и С, а радиус сферы — через г, то дуги больших окруж­ностей LM, NP и QR соответственно равны Аг, Вг, Сг. Далее, так как дуги В'М, LC', С'Р, NA', A'R, QB' соединяют полярно соп­ряженные точки, то они равны г. Поэтому, если все три угла

j, то дуги B'L и МС', C'N и PA', A'Q и RB', допол­няющие дуги Аг, Вг, Сг до у г, соответственно равны ^ — A^jr,

г,          Таким образом, стороны В'С', С'А' и А'В'

полярного треугольника в этом случае равны (л.—А)г, (л — В)г, (я — С) г. Тог же результат совершенно аналогично доказывается и

для случаев, когда углы А,В или С больше . Поэтому стороны

треугольника, полярного по отношению к сферическому треу­гольнику ABC, соответственно равны (я—А) г, (л — В) г, (я—С) г. Отсюда, если мы обозначим эти стороны через а', Ь', с', мы полу-

о,'        Ь'         с'

чим, что Л = я — —, В= я-——, С — п——, т. е. углы треуголь­ника, полярного по отношению к сферическому треугольнику со сто-

/           ,           а'         Ь'         с'

ронами а , о , с , соответственно равны я——, я—- , я——.

Сферический треугольник, совпадающий со своим полярным треу­гольником, называется автополярным треугольником (от греческого

34*

owx'jg—«сам» и слова «полярный»). Так как все вершины авто- полярного треугольника полярно сопряжены, все стороны этого сфе­рического треугольника равны четверти большой окружности, откуда вытекает, что все три угла этого сферического треугольника пря­мые. На рис. 26 изображен автополярный треугольник ABC.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я