• 5

1.6. Углы на сфере

Углом между двумя пересекающимися ли­ниями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия

угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями И I сфере На рис. 17 изображен у го I ВАС между большими окружностями \В и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касаiельными АХ и AY к этим большим окруж­ностям.

Если мы проведем большую окружность, являющуюся по­лярой вершины А угла на сф^ре и пересекающую стороны этого угла в точках В и С, ю лучи ОВ и ОС соответственно па­раллельны лучам * А' и А У, касательным к стиронам угла (рис. 17). Поэтому длина гуги' большой окружности ВС равна про­изведению /_ВАС на радиус еферы, т. е. угол ни ссбере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряженными с ее/ тиной угла, селенной на радиус сферы.

 

 

 

Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокруж­ностями при их различных концах, равны одному и тому же углу ВОС. то эти углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумя большими полуокружностя­ми. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис. 18, а)\ те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развернутый угол л и называются смежными углами (рис. 18, б).

 

Так как полюсы D и Е больших окружностей АВ и АС пред­ставляют собой точки большой окружности ВС, полученные из .то­чек В и С поворотом вокруг прямой АА' на прямой угол, то дуга ВС равна дуге DE и угол ВАС равен длине дуги DE, деленной на ра­диус сферы. Заменяя одну из точек D или Е ее диаметрально про­тивоположной точкой D' или Е' (рис. 19), мы получим угол, смеж­ный с углом ВАС. Таким образом, угол между двумя большими окружностями равен длине дуги, соединяющей их полюсы, делен­ной на радиус сферы.

Так как при отражении от диаметральной плоскости полюсы боль­шой окружности, высекаемой из сферы этой плоскостью, переходят друг в друга, то большие окружности, проходящие через эти по­люсы, при указанном отражении переходят в себя (рис. 20). Поэтому углы, составляемые этими большими окружностями с большой окруж­ностью, высекаемой плоскостью, равны углам, смежным с ними и, следовательно, являются прямыми углами. Таким образом, большие окружности, одна us которых проходит через полюс другой, пересекаются под прямым углом. Будем называть такие большие окружности перпендикулярными.

Обратно, отметив на одной из двух перпендикулярных больших окружностей точку, полярно сопряженную точке пересечения, мы получим такую точку, что проведенный в нее радиус сферы перпен­дикулярен диаметральной плоскости, высекающей из сферы вторую

 

 

 

большую окружность (рис. 21), т. е. точку, являющуюся полюсом этой окружности. Поэтому каждая из двух перпендикулярных больших окружностей проходит через полюс другой большой окружности.

Отсюда следует, что большая окружность, являющаяся полярой точки пересечения двух больших окружностей, перпендикулярна

 

 

 

обеим большим окружностям, т. е. две большие окружности всегда обладают единственной большой окружностью, перпендикуляр­ной к ним обеим (рис. 22). Для сравнения заметим, что на плос­кости общими перпендикулярами обладают только параллельные прямые, причем две параллельные прямые обладают не одним, а бесконечным множеством общих перпендикуляров.

34 Энциклопедия, кн. 4

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я