• 5

1.5. Принцип двойственности

Мы видели, что любое движение сферы переводит пару диаметрально противоположных точек снова н пару чиаметратьно противоположных точек. Таким образом, пара диаметр альт противоположных точеь является в сферической геометрии самостоятельным геометрическим объектом. Отметим одно замечательное свойство этих пар точек: всякой теореме сфе­рической геометрии соответствует другая теорема этой геометрии, получающаяся из первой взаимной заменой слов: «пара диаметрально противоположных точек и «большая окружность», "'.лежит на» и «про­ходит через», соединяются» и «пересекаются на» и т. д. Например:

всякие две большие окружности           всякие две пары диаметрально

на сфере пересекаются в одной            противоположных точек- сферы

паре диаметрально противополож-      соединяются одной большой ок-

ных ючек,      ружностью.

 

') См книгу: А. М. Л о п ш и ц. Об измерении площадей ориентиро­ванных фигур. М. 1956.

См. статью сВекторы и их применения геометрии», стр. 350.

3) См статью о многомерных пространствах в кн. V ЭЭМ.

Это свойство Iеорем сферической геометрии является следствием того, что всякой большой окружности на сфере взаимно однозначно соответствует пара ее полюсов а всякой паре диаметрально противопо­ложных точек сферы взаимно однозначно соответствует их нотяра, причем если большая окружноеib прохо- 1Нт через пару диаметрально противопо­ложных точек, то полюсы этой окружности лежат на поляре этой нары точек (рис. 16) Это свойство называется принципом двойственности, а теоремы, получаю­щиеся дру[ из друга указанной заменой, называются двойственными друг другу теоремами. Если одна из двух двой­ственных теорем доказана, то доказатель­ство второй 1еоремы может быть получено из доказательства первой теоремы пере­ходом от каждой большой окружности к ее полюсам, а от каждой пары диаметрально            Рис-

противоположных точек—к ее поляре.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я