• 5

1.4. Предмет сферической геометрии

Теперь мы можем более четко очертить содержание сферической геометрии: сферическая гео­метрия изучает те свойства фигур на сфере, которые сохраняются при любых движениях сферы Сер. стр. 99). Фигуры на сфере, ко­торые могут быть переведены одна в другую некоторым движением сферы, называются равными фигурами, геометрические свойства рав­ных фигур одинаковы.

Иногда предмет сферической геометрии определяется иначе. Именно, вместо движений, определенных выше, рассматриваются только повороты сферы и изучаются те свойства фигур, которые сохраняются при поворотах. Фигуры, переходящие друг в друга при некотором повороте, называют

в этом случае равными. Фигуры же, которые переходят друг в друга ■ри движении (в определенном выше смысле), но не могут быть совме­щены поворотом, равными не считают; такие фигуры называют (при указанном подходе к сферической геометрии) симметричными. Так, на рис. 12, о изображены равные фигуры (сферические треугольники, см. ниже), а на рис. 12, б—симметричные фи "уры.

Эти два подхода к сферической геометрии можно сопоставить с двумя аналогичными подходами к геометрии на плоскости. Именно совокупность всех движений плоскости можно понимать в смысле, указанном в статье «Аксиомы и основные понятия геометрии» (т. е. рассматривать все пово-

 

а)

б)

Рис. 12.

роты, параллельные переносы плоскости, а также симметрии относительно прямой и произведения симметрий и поворотов, симметрий и переносов, см. стр. 89). С другой стороны, допустимо также построение геометрии на плоскости, при котором допускаются лишь «движения 1-го рода»—по­вороты и параллельные переносы. При такой точке зрения равными счи­таются лишь фигуры, переходящие друг в друга при некотором повороте или переносе, т. е. фигуры, не только «равные» в обычном понимании

 

 

 

Рис. 13.

А

 

этого слова, но имеющие одинаковое направление обхода (по или против часовой стрелки). Фигуры же, «равные» в обычном смысле, но имеющие противоположные направления обхода, считают при таком подходе к плос­кой геометрии не равными, а лишь «симметричными». На рис. 13, а изо­бражены равные треугольники, а на рис. 13, б—симметричные.

Если, следуя школьным определениям, понимать под «равными» фи гурами такие, которые могут быть совмещены с помощью «наложения», то указанные выше два подхода к плани­метрии будут отвечать двум различным пониманиям слова «наложение». С одной стороны, мои^но допускать в качестве «на­ложений» любые «механические» переме­щения плоских фигур, не выводящие их из рассматриваемой пло-     / <

скости. Если определить равенство фи­гур с помощью таких «наложений» (т е. движений 1-го рода), то мы придем ко второму из указанных выше подходов к планиметрии; треугольники, изображен­ные на рис. 13, б, в этом случае равными не будут, так как никакое перемещение одного из этих треугольников, не выводя­щее его нз плоскости чертежа,не может сов-         Рис. 14. местить его с другим треугольником. С дру­гой стороны, можно допускать в качестве «наложений» и такие переме­щения фигур, которые выводят их из рассматриваемой плоскости. На­пример, симметрия относительно прямой при таком подходе также ста­новится «наложением», ибо ее можно осуществить перемещением в прост­ранстве (вращением около оси, рис. 14). Такой подход приводит к обычному пониманию равенства фигур (треугольники, изображенные на рис. 13, б, в этом случае считаются равными).

/гтч }

( У 1 /

V

Гаким образом, отличге между двумя указанными подходами к пла­ниметрии заключается в том, что под движениями в одном случае пони­маются «механические» перемещения фигур ь самой рассматриваемой плос­кости, а в другом случае — «механические» перемещения, совершаемые в объемлющем трехмерном пространстве. След\ет заметить, что два указан- ныч подхода к планиметрии приводит, строго говори, к двум р «1 з л и ч и ы м геометрическим системам. Имен­но в геометрии, основанной только на движениях 1-го рода, существуют понятия, не имеющие смысла в обычной планиметрии; сюда относятся: направление обхода фигуры, ориентированная площадь фигуры (площадь, взятая с тем или иным знаком в зависи­мости от направления обхода')). косое произведение двух векторов2) и др. Однако в школьном преподавании эти вопросы обычно оставляются в стороне, в связи с чем становится наиболее естественным рассмотрение всех движении, i не только движений 1-го рода.

В случае геометрии на сфере различие между указанными двумя подходами кажется на первый взгляд еще более принципиальным, чем в случае пла­ниметрии. Ведь никаким «механическим» перемещением (в трехмерном пространстве) одного из треугольников, изображенных на рис. 12, б, его нельзя наложить на второй из этих треугольников (если «вынуть» треуголь­ник ABC из сферы н приложить его к треугольни­ку А'В'С' «фугой стороной», то треугольники не совместятся мешает искривленность сферы, рис. 15).

Однако уго соображение не является принципиальным: если сферу считать расположенной в четырехмерном простран­стве3), то симметричные фигуры (например треугольники, изображенные на рис 12,6) могут быть совмещены при помощи «механического» пере­мещения в =)том четырехмерном пространстве (т. е. при помощи «движения 1-го рода» в четырехмерном пространстве).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я