1. 3. Движение сферы

Движением сферы называется такое пре­образование') сфеоы. при котором сохраняются расстояния между

') Ср. статьи «Геометрические преобразовании», стр. 60, и «Аксиомы и основные понятия геометрии», стр. 36 -37.

Рис. 8.

Рис. 9.

точками Иными словами, преобразование ф сферы является движе­нием, если для любых точек А, В сферы расстояние между точ­ками ф (/4) и ф (В) равно расстоянию между ючками А и В. Так- как две точки А и В в том и только в том случае являются диаметрально противоположными, если расстояние между ними имеет наибольшее возможное значение, равное 2г (где г — радиус сферы), то из определения движения непосредственно следуеi. что при любом

движении сферы виаметрально противоположные точки сферы пе­реходят в диаметрально противоположные точки. Это свойство также не имеет аналога в плоской геометрии, так как на плоскости нет таких пар точек, что твижение одной из этих точек вполне определяет движение второй. Поэтому, если движение плоскости является преобразованием множества точек этой плоскости, то дви­жение сферы по существу является преобразованием множества пар диаметрально противоположных точек сферы.

В качестве примера движения сферы укажем поворот сферы вокруг некоторого ее диаметра СС' на угол а, при котором каждая окружность сферы, имеющая линию СС' своей осью, поворачивается по себе на угол а (рис. 10; разумеется, все окружности поворачи­ваются на угол а в одном и том же направлении). Другим примером

Рис 10.

Рис. 11.

г

движения сферы является симметрия сферы относительно не­которой ее диаметральной плоскости П, при которой каждая точка А переходит в такую точку А', что плоскость П перпендикулярна от­резку АА' и проходит через его середину (рис. 11). Поворот и сим­метрия являются в некотором смысле основными движениями сферы; именно можно доказать, что всякое (нетождественное) движение сферы либо является поворотом, либо является симметрией, либо представляет собой произведение поворота и симметрии (ср. стр 89).