1. 3. Движение сферы
Движением сферы называется такое преобразование') сфеоы. при котором сохраняются расстояния между
') Ср. статьи «Геометрические преобразовании», стр. 60, и «Аксиомы и основные понятия геометрии», стр. 36 -37.
Рис. 8.
Рис. 9.
точками Иными словами, преобразование ф сферы является движением, если для любых точек А, В сферы расстояние между точками ф (/4) и ф (В) равно расстоянию между ючками А и В. Так- как две точки А и В в том и только в том случае являются диаметрально противоположными, если расстояние между ними имеет наибольшее возможное значение, равное 2г (где г — радиус сферы), то из определения движения непосредственно следуеi. что при любом
движении сферы виаметрально противоположные точки сферы переходят в диаметрально противоположные точки. Это свойство также не имеет аналога в плоской геометрии, так как на плоскости нет таких пар точек, что твижение одной из этих точек вполне определяет движение второй. Поэтому, если движение плоскости является преобразованием множества точек этой плоскости, то движение сферы по существу является преобразованием множества пар диаметрально противоположных точек сферы.
В качестве примера движения сферы укажем поворот сферы вокруг некоторого ее диаметра СС' на угол а, при котором каждая окружность сферы, имеющая линию СС' своей осью, поворачивается по себе на угол а (рис. 10; разумеется, все окружности поворачиваются на угол а в одном и том же направлении). Другим примером
Рис 10.
Рис. 11.
г
движения сферы является симметрия сферы относительно некоторой ее диаметральной плоскости П, при которой каждая точка А переходит в такую точку А', что плоскость П перпендикулярна отрезку АА' и проходит через его середину (рис. 11). Поворот и симметрия являются в некотором смысле основными движениями сферы; именно можно доказать, что всякое (нетождественное) движение сферы либо является поворотом, либо является симметрией, либо представляет собой произведение поворота и симметрии (ср. стр 89).