• 5

1.2. Точки, большие окружности, малые окружности

Если основными понятиями плоской геометрии являются точка, прямая и движение плоскости8), то в сферической !еочетрии такую же роль играют точка сферы, большая окружность п движение сферы. Разъясним смысл этих понятий. Сечение сферы всякой плоскостью представляет собой окружное т ь, гак как если опустить из центра сферы перпендикуляр на эту плоскость и произвести поворот про­странства вокруг этого перпендикуляра на любой угол, то при по­вороте перейдет в себя как сфера, так и плоскость и, следовательно, 1иння их пересечения; поэтому всякая точка этой линии пере­сечения находится на одном и том же расстоянии от точки пересе­чения плоскости с перпендикуляром, откуда видно, что эта линия

Ч См в связи с атим статью о неевклидовых геометриях в кн. V ЭЭМ.

г) См. статью «Аксиомы и основные понятия геометрии», стр. 32.

пересечения—окружность. Радиус р этой окружности является ка­тетом прямоугольного треугольника (рис. 3), гипотенуза которого — радиус г, а второй катет—перпендикуляр Л, опущенный из центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора

Эта формула показывает, что величина q принимает максимальное значение Q=>r при Л = 0, т. е. в том случае, когда плоскость проходит через центр сферы, т. е. является диаметральной плоскостью. В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью

(иногда —- большим кругом). При Л> 0 мы имеем р<л; окруж­ность на сфере называется в этом случае малой окружностью.

Так как через всякие три точки пространства, не лежащие на од­ной прямой, проходит единствен­ная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными (т. е. концами одного диаметра) проходит единственная диамет­ральная плоскость. Поэтому через всякие две точки сферы, не явля­ющиеся диаметрально противо­положными, проходит единственная большая окружность (рис.4). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально про­тивоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис. 5) Так как всякие две диамет­ральные плоскости сферы пересекаются по ее диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально про­тивоположных точках сферы (рис. 6). Здесь мы наблюдаем отли­чие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Так как плоскость делит пространство на две области, то боль­шая окружность делит сферу на две области (рис. 4); эти об­ласти называются полусферами. Далее, так как две пересекающиеся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис. 6) Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят про­странство на восемь областей, то три большие окружности, не пе­ресекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (иа рис. 7 изображены восемь областей ABC, ABC', АВ'С. А'ВС,

 

Рис. 3.

АВ'С, А'ВС'. А'В'С, А'В'С', на которые делят сферу большие ок­ружности АВ, АС и ВС, причем точки А',В,'С диаметрально про тивоположны точкам А,В,С и, следовательно, области ABC и А'В'С', ABC' и А'В'С, АВ'С и А'ВС', А'ВС и АВ'С' попарно диаметрально прот и вопо ложны).

 

 

 

 

 

Если первые два из этих свойств аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области прямой и на четыре области двумя пересекающимися прямыми, то третье из указанных свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых

Рис. 6.

Рис. 7

на плоскости, так как три попарно пересекающиеся прямые, не про ходящие все три через одну точку, делят плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.8).

Всякой большой окружности соответствуют две диаметрально противоположные точки сферы, высекаемые из нее диаметром, пер­пендикулярным к плоскости большой окружности (рис. 9). Эти две точки называются полюсами большой окружности (от греческого слова лбЯ-ос;, в латинской форме pulus — «ось», так как перпендикуляр.

восставленный к плоскости окружное in н ее центре, наливается осью окружности в нросфанстве); в частности, полюсами экватора Земли Являются ее географические полюсы — Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точ­кам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность.

т 1я которой точки A v В являются полюсами; эта большая окруж­ность называется полярой пары диаметрально противоположных то­чек А, В (от латинского слова polaris, прилагательного к слову polus). Каждая точка поляры называется полярно сопряженной с кажтым

из ее полюсов; иначе говоря, точки P. Q сферы являются полярно сопряженными, если радиусы ОР и OQ перпендикулярны (О—центр сферы).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я