12.3. Понятие о касательной геометрии окружностей

Изуче­ние таких свойств фигур, которые сохраняются при касательных круговых преобразованиях, составляет предмет касательной геомет­рии окружностей2). Доказанное выше позволяет утверждать, что касательная геометрия окружностей изучает свойства фигур, сохраняющиеся как при точечных, так и при осевых круговых преобразованиях, и только эти свойства. В этой геометрии уже не имеет смысла ни понятие угла между окружностями, ни понятие касательного расстояния нетрудно показать даже, что здесь нельзя указать никакого аналога этих понятий, поскольку любую пару ок­ружностей можно перевести соответственно подобранным касатель­ным круговым преобрмованпеч в любую фугую пар\ окружностей.

') Ниже мы увидим, что если окружности S„ S2 и S3 направленные, то задача Аполлония может иметь до двух решений. Направление трех ненаправленных окружностей можно выбрать 2.2-2 = 8 разными способами; это приводит к 16 различным окружностям S. Но эти 16 направленных окружностей попарно отличаются одна от другой только направлением. Таким образом, мы заключаем, что в случае ненаправленных окружностей наибольшее возможное число решений задачи Аполлония равно восьми

s) Элементы эт^й геометрии содержатся в книге Бляшке [7], на кото­рую мы уже неоднократно ссылались. 33*

Напротив, уже не каждые две тройки окружностей будут обладать в касательной геометрии окружностей одинаковыми свойствами: так, легко видеть, что изображенные на рис. 51, а, б две тройки окруж­ностей 5,, S2, S3 и Sv S2, St нельзя перевести одну в другую (ибо в противном случае прямая 5 перешла бы в окружность «касаю­щуюся» 5,, и S,, а такой окружности вовсе не существует). Впрочем, можно показать, что все различные (с точки зрения каса­тельной геометрии окружностей) тройки окружностей, никакие две

а)         б)

Рис. 51.

из которых не касаются между собой, исчерпываются этой парой: каждую другую тройку окружностей можно перевести касательным круговым преобразованием в одну из изображенных на рис. 51, а, б. Более содержательно изучение свойств четверок окружностей; здесь можно выделить некоторые особо интересные типы четверок и со­ставить некоторые «инварианты» четверок окружностей, т. е. сопо­ставить с четверками окружностей определенные числа, совпадение которых для двух четверок означает, что в смысле касательной кру­говой геометрии эти четверки окружностей «одинаковы», т. е что они переводятся одна в другую некоторым касательным круговым преоб­разованием. Мы, однако, не имеем никакой возможности остановиться здесь на этих деталях касательной геометрии окружностей.