12.3. Понятие о касательной геометрии окружностей
Изучение таких свойств фигур, которые сохраняются при касательных круговых преобразованиях, составляет предмет касательной геометрии окружностей2). Доказанное выше позволяет утверждать, что касательная геометрия окружностей изучает свойства фигур, сохраняющиеся как при точечных, так и при осевых круговых преобразованиях, и только эти свойства. В этой геометрии уже не имеет смысла ни понятие угла между окружностями, ни понятие касательного расстояния нетрудно показать даже, что здесь нельзя указать никакого аналога этих понятий, поскольку любую пару окружностей можно перевести соответственно подобранным касательным круговым преобрмованпеч в любую фугую пар\ окружностей.
') Ниже мы увидим, что если окружности S„ S2 и S3 направленные, то задача Аполлония может иметь до двух решений. Направление трех ненаправленных окружностей можно выбрать 2.2-2 = 8 разными способами; это приводит к 16 различным окружностям S. Но эти 16 направленных окружностей попарно отличаются одна от другой только направлением. Таким образом, мы заключаем, что в случае ненаправленных окружностей наибольшее возможное число решений задачи Аполлония равно восьми
s) Элементы эт^й геометрии содержатся в книге Бляшке [7], на которую мы уже неоднократно ссылались. 33*
Напротив, уже не каждые две тройки окружностей будут обладать в касательной геометрии окружностей одинаковыми свойствами: так, легко видеть, что изображенные на рис. 51, а, б две тройки окружностей 5,, S2, S3 и Sv S2, St нельзя перевести одну в другую (ибо в противном случае прямая 5 перешла бы в окружность «касающуюся» 5,, и S,, а такой окружности вовсе не существует). Впрочем, можно показать, что все различные (с точки зрения касательной геометрии окружностей) тройки окружностей, никакие две
а) б)
Рис. 51.
из которых не касаются между собой, исчерпываются этой парой: каждую другую тройку окружностей можно перевести касательным круговым преобразованием в одну из изображенных на рис. 51, а, б. Более содержательно изучение свойств четверок окружностей; здесь можно выделить некоторые особо интересные типы четверок и составить некоторые «инварианты» четверок окружностей, т. е. сопоставить с четверками окружностей определенные числа, совпадение которых для двух четверок означает, что в смысле касательной круговой геометрии эти четверки окружностей «одинаковы», т. е что они переводятся одна в другую некоторым касательным круговым преобразованием. Мы, однако, не имеем никакой возможности остановиться здесь на этих деталях касательной геометрии окружностей.