• 5

12.2. Задача Аполлония

Касательные круговые преобразования допускают многочисленные применения к доказательству геометри­ческих теорем и к решению задач на построение. Здесь мы огра­ничимся одним известным примером такого рода.

Пусть нам требуется построить окружность S, касающуюся трех заданных окружностей Sv St и S, (рис. 50, а; эта задача на построение носит название задачи Аполлония). Первона­чально эта задача кажется очень сложной, поскольку совсем не видно, как nepefttn от имеющихся ничем не связанных друг с другом ок­ружностей 5,, 5, и 5, к искомой окружности 5. Можно, однако, так упростить чертеж задачи, что новая задача будет уже совсем простой.

Прежде всего мы с помощью какого-либо осевого кругового пре­образования Л переведем окружность в точку S,; окружности St и 5, перейдут при этом в новые окружности и S,. В качестве преобразования Л можно использовать особую осевую инверсию или расширение на величину —г,, где л, — радиус окружности 5, (см. рис. 50, б.) При этом использование осевого кругового преобразо­вания предполагает, разумеется что окружности 5,, Ss и 5, являются

*) Если М переводит А в прямую а, то вместо М мы будем рас­сматривать последовательность М преобразования М и какой-либо (точеч­ной) инверсии I, переводящей а в окружность S; в свою очередь М будет получаться, если последовательно произвести преобразования М и I. (Впрочем, можно доказать, что никакое касательное круговое преобразо­вание не переводит все точки плоскости в прямые, так что наверное най­дется точка А, которую М переводит в окружность S ограниченного ра­диуса.)

2) См. стр. 54.

33 Энциклопедия, кн А

 

Рис. 50

направленными. Если зги окружности первоначально были ненаправленными, го мы зададим их направления произвольно. Раз­личный выбор направлений этих окружностей тает нам разные реше­ния задачи Аполлония ').

Искомая окружность Л преобразованием Л (скажем, расширением) переводиich в окружность S', касающуюся окружностей 6', и и проходящую через точку 5,. Произведем теперь точечное круговое преобразование, переводящее точку S, в «несобственную» точку £2, скажем, инверсию I с центром S,. При этом окружности S„ и 5, перейдут в какие-то окружности .S., и 5а, а искомая окружность S' — в прямую S", касающуюся окружностей и St. Таким образом, касательное круговое преобразование К, представляющее собой последовательность двух преобразований — осевого кругового преоб­разования (расширения) Л и точечного круговою преобразования (инверсии) I, — переводит окружности S}, и i, в «несобственную» точку Q и в две окружности £2 и S,; искомую окружность Л' каса­тельное круговое преобразование К перево гит в прямую S", касаю­щуюся окружное!ей и Зная окружности б1, и Ss, ->ту прямую S" нетрудно построить; затем от прямой S" легко перейти к окруж­ности 5 и, наконец, к искомой окружности S. В зависимости от расположения и направлений окружностей S, и 53 задача может иметь два решения (именно этот случай изображен на рис. 50), одно решение или нн одного решения.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я