• 5

§ 12. Касательная геометрия окружностей

12.1. Касательные круговые преобразования. Изучение свойств окружностей, рассматриваемых как совокупность линейных элементов, служит предметом весьма содержательной теории, которую можно было бы развивать аналогично построениям первых двух разделов статьи. Так, например, здесь можно было бы определить понятие «степени окружности относительно окружности» и с помощью этого понятия выделить некоторые специальные системы окружностей, род­ственные пучкам и рядам или связкам и сетям; далее с помощью этих систем окружностей можно определять своеобразную «инверсию», представляющую собой такое преобразование в множестве линейных элементов, при котором каждая окружность (понимаемая в принятом в этой главе широком смысле) переходит в новую окружность и т. д.

') Окружность характеризуется тем, что между расстоянием АВ и уг- лом (a, b) имеется функциональная зависимость: AB = f(/_ (a, b)); радиус окружности равен производной возникающей таким образом функции y — f(x) при * = 0 (см. ЭЭМ., кн. IIJ, статью «Производные. Интегралы и ряды») Угол всюду измеряется в радианной мере.

 

Однако изложение этой теории требует значительно больше места, чем допускают рамки настоящей статьи.

Мы здесь ограничимся лишь вопросом о сведении произвольных касательных круговых преобразований1), т. е. таких преобразований в множестве линейных элементов,которые переводят каждую окружность снова в окружность (переводят совокупность линейных элементов произ­вольной окружности в совокупность линейных элементов какой-то другой окружности), к известным нам уже точечным и осевым кру говым преобразованиям. Касающиеся окружности, т. е. окружности,

имеющие общий линейный элемент, касательное круговое преобразо­вание переводит снова в касающиеся окружности; с этим обстоятель­ством связано и само название «касательное преобразование»г).

Очевидно, что рассмотренные в разделах А и Б точечные кру говые преобразования и осевые круговые преобразования являются частными случаями касательных круговых преобразований. Действи­тельно, поскольку, например, точечное круговое преобразование К переводит касающиеся окружности снова в касающиеся окружности, то его можно считать также преобразованием в множестве линейных элементов: так как совокупность всех окружностей, проходящих через определенную точку А и касающихся в этой точке друг друга, переходит в совокупность окружностей, касающихся друг друга в какой-то другой точке А' (рис. 49), то можно считать, что К переводит каждый линейный элемент (А, а) в другой линейный

') В литературе эти преобразования обыкновенно на>ываются круго выми преобразованиями Ли.

2) Вообще касательными преобразованиями со ласно Ли называют также такие преобразования в множестве линейных элементов, которые переводят каждую кривую (см п. 11.2) снова в кривую, такие преобразования пе реводят касающиеся кривые (кривые, имеющие общий линейный рлемент) снова в касающиеся кривые. Касательные круговые преобразования пред­ставляют собой частный случай общих касательных преобразований

 

 

 

Рис. 49.

элемент (А', а')'). С нашей новой точки зрения точечные и осевые круговые преобразования можно характеризовать как такие касатель­ные круговые преобразования, которые переводят точки снова в точки, соответственно переводят прямые в прямые. Однако существуют также касательные круговые преобразования, которые не сохраняют ни точек, ни прямых; к такому преобразованию мы придем, например, если произведем подряд несколько точечных и осевых круговых преобразований (скажем, сначала точечную, а затем осевую инверсию). Оказывается, что этот прием получения касательных круговых пре­образований имеет общий характер, т. е. что всякое касательное круговое преобразование можно представить в виде последова­тельности нескольких точечных и осевых круговых преобразо­ваний 2).

Сначала предположим, что касательное круговое преобразование М, переводит в себя некоторую точку А. Произведем теперь последовательно (точечную) инверсию I с центром А, преобразование М, и еще одну инвер­сию I; полученное таким образом преобразование мы обозначим через Л. Прямую а инверсия I переводит в окружность S, проходящую через точку А (окружность, «касающуюся окружности нулевого радиуса А»); преоб­разование М, переводит S в другую окружность S', также проходящую через А (ибо М„ по предположению, переводит А в себя); наконец, I пе­реводит S' в другую прямую а'. Таким образом, мы видим, что преобра­зование Л—последовательность преобразований I, М, и I — переводит каж­дую прямую линию снова в прямую линию и, значит, является осевым кру говым преобразованием (обыкновенной или особой осевой инверсией, сопро­вождаемой еще, быть может, преобразованием подобия). Последователь ность же инверсии I, осевого кругового преобразования Л и снова инвер­сии I совпадает с последовательностью двух преобразований I, исходного касательного кругового преобразования М, и еще двух инверсий I, т. е. совпадает с преобразованием М, (ибо две последовательные инверсии I, очевидно, взаимно уничтожаются); этим и доказывается, что М, можно представить в виде последовательности трех преобразований I, A u I.

Рассмотрим теперь произвольное касательное круговое преобразование М. Если М переводит все точки снова в точки, то оно, как мы уже знаем, сводится к (точечной) инверсии. Предположим теперь, что М переводит

*) Точечная инверсия с центром О и степенью k представляет собой ка сательное круговое преобразование, переводящее каждый линейный эле­мент (А, а) в линейный элемент (А', а'), где А и А' лежат на-одной пря­мой т с центром О инверсии, OA-0А' = £ и (т. а)=<£(а', т)\ последнее условие указывает также, как следует направить а', если считать прямую а направленной. Осевая инверсия с осью о и степенью k переводит друг в друга линейные элементы (А, о) и (А', а'), где а и о' пересекаются в

точке М оси о, tg ^ . tg а ^=k и АМ=МА' Столь же просто

указать, как преобразуют произвольный линейный элемент (Л, а) особые точечная и осевая инверсии; мы предоставляем это сделать читателю.

2) Используя терминологию статьи «Г. П.», можно сказать, что каждое касательное круговое преобразование представляет собой произведение нескольких точечных и осевых круговых преобразований.

точку А в окружность S с центром А' и радиусом г'). Обозначим через Т параллельный перенос на вектор А'А 2) и через Г—особую осевую инвер­сию, определяемую сетью окружностей радиуса г (особую инверсию Г можно также заменить расширением на величину—г). Преобразование Т пере­водит окружность S в окружность S' с центром А и радиусом г\ Г переводит S' в точку А; таким образом, последовательность преобразований М, Т и Г представляет собой касательное круговое преобразование (обозначим его через М,), переводящее точку А в себя. Но такое преобразование, как мы только что показали, можно заменить последовательностью (точечной) инверсии 1, осевого кругового преобразования А (обыкновенной или особой осевой инверсии, сопровождаемой преобразованием подобия) и инверсии I. С другой стороны, М представляет собой последовательность преобразова­ния М,, особой инверсии Г и параллельного переноса Т на вектор АА' (последовательность трех преобразований М„ Г и Т не отличается от по­следовательности пяти преобразований М, Т, Г, Г и Т; но две последо­вательные инверсии Г взаимно уничтожаются и два параллельных пере­носа Т и Т также взаимно уничтожаются). Таким образом, М совпадает с последовательностью пяти преобразований I, Л, I, Г u Т, что и доказы­вает наше утверждение.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я