• 5

В. ОКРУЖНОСТЬ КАК СОВОКУПНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ §11. Новый взгляд на окружность

11.1. Плоскость как множество линейных элементов. В первом разделе настоящей статьи окружность рассматривалась как множе­ство («геометрическое место») точек. При этом прямая, как правило, считалась лишь частным случаем окружности, в то время как точки играли особую роль: они принимались за основной элемент геомет­рии, что находило отражение, например, в том, что в первом разделе рассматривались исключительно точечные преобразования плоско­сти— преобразования, переводящие точки) к числу которых причис­лялась также «бесконечно удаленная точка» Q) снова в точки. В противоположность этому во втором разделе мы рассматривали ок­ружность как совокупность прямых линий; соответственно этому здесь уже точка считалась частным случаем окружности, а прямая играла особую роль. Теперь мы хотим наметить построение более общей теории, в которой и прямые и точки совершенно равноправны с окружностями (представляют собой лишь частные случаи окруж­ности). При этом прямые и окружности мы здесь, как и во второй главе, будем считать направленными, а к числу точек, как и в пер­вой главе, отнесем также «бесконечно удаленную точку» Q. Под двумя касающимися окружностями мы теперь будем понимать:

две касающиеся (направленные) окружности или (направленные) окружность и прямую, имеющие в точке касания одинаковое направление;

две параллельные (т. е. не пересекающиеся и одинаково направ­ленные) прямые;

точку и проходящую через эту точку окружность или прямую;

«бесконечно удаленную точку» Q и произвольную прямую.

Поскольку ни точки, ни прямые не будут ничем выделяться из всего множества окружностей (понимаемых в указанном выше широ-

') Взаимоотношение между совокупностью всех осевых круговых пре­образований и совокупностью осевых круговых преобразований, сохраня­ющих касательные расстояния между окружностями, аналогично отноше­нию между преобразовавиями подобия и движениями.

г) Основы которой изложены, например, в указанной в конце статьи книге В. Бляшке [7].

ком смысле), то основным элементом геометрии здесь придется счи­тать какой-то новый геометрический образ. За такой образ удобно принять так называемый линейный элемент (А, а), т. е совокуп-

 

 

 

а)         6)

Рис. 45.

ность точки А и проходящей через нее (направленной) прямой а (другими словами, совокупность точки и заданного в этой точке направления). Окружность мы теперь будем рассматривать как сово­купность всех линейных элементов, зада­ваемых точкой окружности и касательной к окружности в этой точке (рис. 45, я); точки, и прямые мы также будем пони­мать как совокупности линейных элемен­тов (рис. 45, б, в). Заметим еще, что касание двух окружностей с принятой здесь точки зрения означает наличие у них общего линейного элемента (рис. 46);  ^ис. -16

если уговориться еще, что задание

какого-то направления (указываемого направленной прямой я; две параллельные прямые задают одно направление) и «бесконечно уда­ленной точки» Q определяет «бесконечно удаленный линейный эле­мент» (Q, я), то это условие охватит все перечисленные выше случаи касания окружностей.

 

 

 

о)

Рис. 47.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я