§ 10. Осевая геометрия окружностей
10.1. Осевые круговые преобразования. В настоящем разделе точки всюду рассматривались лишь как частный случай окружностей— никакого самостоятельного значения они здесь не имели. Соответственно этому мы здесь уже не будем считать точку основным геометрическим элементом и откажемся от рассмотрения точечных преобразований плоскости, т. е. преобразований, переводящих каждую точку снова в точку. Роль точечных преобразований будут теперь играть преобразования множества направленных прямых линий (осей) плоскости, т. е. преобразования, переводящие каждую направленную прямую (ось) в новую направленную прямую (ось). Такие преобразования естественно называть осевыми преобразованиями
Рис. 43.
плоскости. Осевые преобразования, вообще говоря, уже не переводят точки снова в точки: если поннмать под точкой А совокупность всех проходящих через нее прямых а, Ь, с,... (рис. 43, а), то придется принять, что осевое преобразование переводит точку А в некоторую кривую А', определяемую своими касательными а', />', с', .. . (рис. 43, б); подобно этому точечное преобразование переводит прямую я, понимаемую как совокупность точек А. В, С в кривую а', на которой лежат преобразованные точки А', В', С',
Особое место среди всех осевых преобразований занимают осевые круговые преобразования ')—такие осевые преобразования, которые переводят каждую (направленную) окружность 5 ограниченного радиуса в новую окружность S' (т. е. переводят совокупность касательных произвольной окружности 5 в совокупность касательных некоторой новой окружности S'). Простейшие примеры осевых круговых преобразований доставляют уже преобразования подобия: поскольку эти преобразования переводят каждую прямую снова в прямую, то их можно рассматривать как осевые, а так как они
') В литературе эти преобразования чаще называются преобразованиями Лагерра.
переводят также и окружности в окружности, то являются круговыми преобразованиями1). Более сложным примером может служить невырожденная осевая инверсия. Нетрудно показать, что последний пример имеет общий характер, т. е. что каждое осевое круговое преобразование сводится к невырожденной инверсии; точнее, мы покажем., что каждое осевое круговое преобразование представляет собой особую или обыкновенную осевую инверсию, сопровождаемую еще, быть может, преобразованием подобия.
Прежде всего, ясно, что осевое круговое преобразование, переводящее каждую точку снова в точку, является преобразованием подобия', это утверждение лишь по форме отличается от утверждения о том, что все точечные круговые преобразования, переводящие прямые снова в прямые, исчерпываются преобразованиями подобия (см. п. 5.1). Далее заметим, что если какое-либо осевое круговое преобразование переводит какие-либо две точки А и В снова в точки А' и В', то оно переводит все точки прямой АВ снова в точки. Действительно, при этом две проходящие через А а В (направленные) прямые а и Ь, отличающиеся только направлением, переходят в (направленные) прямые а' и Ь', проходящие через А' и В' и тоже отличающиеся только направлением, и все точки прямой АВ, «касающиеся» а и Ь, переходят в точки прямой А'В', «касающиеся» а' и Ь'. Поэтому, если осевое круговое преобразование переводит в точки три точки А, В и С плоскости, не лежащие на одной прямой, то оно переводит в точку каждуку точку М плоскости (точка N пересечения прямых AM и ВС переходит в точку, ибо она лежит на прямой ВС, и точка М переходит в точку, так как она лежит на прямой AN; если АМ\\ВС, то нам придется только заменить А какой-либо другой вершиной треугольника ABC) и, значит, является преобразованием подобия. Таким образом, если осевое круговое преобразование отлично от преобразования подобия (а только такие преобразования нас сейчас интересуют), то имеет место один из следующих трех случаев:
1) преобразование не переводит в точку ни одну точку плоскости;
2) преобразование переводит в точку одну единственную точку плоскости (ниже мы покажем, что этот случай на самом деле невозможен);
•) Для того чтобы рассматривать преобразование подобия как осевое, надо еще условиться считать, что оно переводит определенную направленную прямую а в другую направленную прямую а' (направления а и а' могут быть выбраны произвольно) и направленную прямую Ь—в такук> направленную прямую Ь', что (а, 6) = <$(a', fc')<£(a, Ь) = 0, если Ь параллельна а, <$(а, Ь) = л, если Ь противопараллельна а). Таким образом, одному и тому же преобразованию подобия, понимаемому как точечное преобразование, могут соответствовать даа различных осевых преобразования (отвечающих двум различным выборам направления оси а').
3) преобразование переводит в точки все точки одной прямой и только эти точки.
Рассмотрим ienepb эти три случая последовательно.
1) Пусть осевое круговое преобразование Л не переводит в точку ни одну точку плоскости. Рассмотрим две произвольные точки А' и в' и две проходящие через эти точки прямые а' и ft', отличающиеся только направлением; пусть а и ft суть прямые, которые Л переводит в я' и Ь'. В точки прямой А'в' («окружности нулевого радиуса, касающиеся прямых а' и b '») переходят окружности, касающиеся прямых а и Ь. Если бы прямые а и b пересекались, то в число последних окружностей входила бы также и точка М пересечения прямых я и b (ср. рис. 32, б на стр. 492); поэтому в одну из точек прямой А'в' переходила бы точка М, что противоречит нашему условию. Отсюда следует, что прямые а и b противопарал- лельны и все касающиеся их окружности (в частности, и окружности А к В, которые А переводит в точки А' и В') равны (ср. выше рис. 32, а; прямые а и b не могут быть параллельны, ибо таких прямых вообще не касается ни одна окружность). Итак мы видим, что в любые две точки А' и В' переходят окружности одного радиуса; следовательно, Л переводит в точки все окружности одного .определенного радиуса г.
Заменим теперь наше круговое преобразование особой инверсией (расширением и переориентацией) Г, переводящей в точки окружности именно этого радиуса г, сопровождаемой, быть может, еще некоторым дополнительным преобразованием Р. Это дополнительное осевое круговое преобразование переводит все точки снова в точки ■(ибо уже Г переводит окружности радиуса г в точки) и, значит, является преобразованием подобия; таким образом, наше исходное преобразование Л является особой инверсией, сопровождаемой преобразованием подобия.
2) Докажем теперь, что осевое круговое преобразование Л, переводящее в точку одну единственную точку А, не может существовать. Действительно, две отличающиеся только направлением прямые а и Ь, проходящие через точку А, должны переходить в две прямые а' и Ь', пересекающиеся в точке А', в которую переходит А. Рассмотрим еще некоторую, не параллельную а прямую а,; она и совпадающая с ней по положению (отличающаяся от а, лишь направлением!) прямая ft, переходят в противопараллельные прямые а[ и b\ (ибо ни одна из точек прямой а, не переходит в точку; ср. выше). Заметим теперь, что всегда найдутся такие две окружности М', Mi, касающиеся соответственно а' ц ft', а, и Ь„ что одна из них заключается внутри другой (рис. 44, а, б). В эти две окружности переходят две точки М и Мх прямых а и а,; две отличающиеся направлением прямые, совпадающие по положению на пло
скости с прямой ЛШ,, должны будут перейти в общие каса1ельные окружностей М' и /И,; но таких касательных вовсе не существует. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.
3) Пусть осевое круговое преобразование Л переводит в точки все точки некоторой прямой о (которую мы здесь будем считать направленной) и только эти точки; далее пусть Л переводит в некоторую не лежащую на прямой о точку А' определенную окружность А. Заменим Л обыкновенной осевой инверсией Г с осью о, переводящей окружность А в точку Л, (такую, что о есть радикальная ось окружностей А и Л,), сопровождаемой, если это требуется,
Рис. 44.
каким-то дополнительным осевым круговым преобразованием Р. Преобразование Р переводит все точки прямой о снова в точки и, кроме того, переводит в точку А' точку Л,; поэтому оно переводит все точки плоскости снова в точки (см. выше стр. 505) и, значит, является преобразованием подобия. Таким образом, мы видим, что в этом случае Л представляет собой обыкновенную осевую инверсию Г, сопровождаемую преобразованием подобия Р. Этим и завершается доказательство нашей теоремы.