§ 10. Осевая геометрия окружностей

10.1. Осевые круговые преобразования. В настоящем разделе точки всюду рассматривались лишь как частный случай окружно­стей— никакого самостоятельного значения они здесь не имели. Соответственно этому мы здесь уже не будем считать точку основ­ным геометрическим элементом и откажемся от рассмотрения точеч­ных преобразований плоскости, т. е. преобразований, переводящих каждую точку снова в точку. Роль точечных преобразований будут теперь играть преобразования множества направленных прямых линий (осей) плоскости, т. е. преобразования, переводящие каждую направ­ленную прямую (ось) в новую направленную прямую (ось). Такие преобразования естественно называть осевыми преобразованиями

Рис. 43.

плоскости. Осевые преобразования, вообще говоря, уже не переводят точки снова в точки: если поннмать под точкой А совокупность всех проходящих через нее прямых а, Ь, с,... (рис. 43, а), то при­дется принять, что осевое преобразование переводит точку А в не­которую кривую А', определяемую своими касательными а', />', с', .. . (рис. 43, б); подобно этому точечное преобразование переводит пря­мую я, понимаемую как совокупность точек А. В, С  в кри­вую а', на которой лежат преобразованные точки А', В', С',

Особое место среди всех осевых преобразований занимают осе­вые круговые преобразования ')—такие осевые преобразования, кото­рые переводят каждую (направленную) окружность 5 ограниченного радиуса в новую окружность S' (т. е. переводят совокупность каса­тельных произвольной окружности 5 в совокупность касательных некоторой новой окружности S'). Простейшие примеры осевых кру­говых преобразований доставляют уже преобразования подобия: поскольку эти преобразования переводят каждую прямую снова в прямую, то их можно рассматривать как осевые, а так как они

') В литературе эти преобразования чаще называются преобразованиями Лагерра.

переводят также и окружности в окружности, то являются круго­выми преобразованиями1). Более сложным примером может служить невырожденная осевая инверсия. Нетрудно показать, что последний пример имеет общий характер, т. е. что каждое осевое круговое преобразование сводится к невырожденной инверсии; точнее, мы покажем., что каждое осевое круговое преобразование представ­ляет собой особую или обыкновенную осевую инверсию, сопровож­даемую еще, быть может, преобразованием подобия.

Прежде всего, ясно, что осевое круговое преобразование, пере­водящее каждую точку снова в точку, является преобразованием подобия', это утверждение лишь по форме отличается от утвержде­ния о том, что все точечные круговые преобразования, переводящие прямые снова в прямые, исчерпываются преобразованиями подобия (см. п. 5.1). Далее заметим, что если какое-либо осевое круговое преобразование переводит какие-либо две точки А и В снова в точки А' и В', то оно переводит все точки прямой АВ снова в точки. Действительно, при этом две проходящие через А а В (направленные) прямые а и Ь, отличающиеся только направлением, переходят в (направленные) прямые а' и Ь', проходящие через А' и В' и тоже отличающиеся только направлением, и все точки пря­мой АВ, «касающиеся» а и Ь, переходят в точки прямой А'В', «касающиеся» а' и Ь'. Поэтому, если осевое круговое преобразо­вание переводит в точки три точки А, В и С плоскости, не ле­жащие на одной прямой, то оно переводит в точку каждуку точку М плоскости (точка N пересечения прямых AM и ВС пере­ходит в точку, ибо она лежит на прямой ВС, и точка М переходит в точку, так как она лежит на прямой AN; если АМ\\ВС, то нам придется только заменить А какой-либо другой вершиной треуголь­ника ABC) и, значит, является преобразованием подобия. Таким образом, если осевое круговое преобразование отлично от преобра­зования подобия (а только такие преобразования нас сейчас интере­суют), то имеет место один из следующих трех случаев:

1)         преобразование не переводит в точку ни одну точку плоскости;

2)         преобразование переводит в точку одну единственную точку плоскости (ниже мы покажем, что этот случай на самом деле невоз­можен);

•) Для того чтобы рассматривать преобразование подобия как осевое, надо еще условиться считать, что оно переводит определенную направлен­ную прямую а в другую направленную прямую а' (направления а и а' могут быть выбраны произвольно) и направленную прямую Ь—в такук> направленную прямую Ь', что (а, 6) = <$(a', fc')<£(a, Ь) = 0, если Ь парал­лельна а, <$(а, Ь) = л, если Ь противопараллельна а). Таким образом, од­ному и тому же преобразованию подобия, понимаемому как точечное преобразование, могут соответствовать даа различных осевых преобразова­ния (отвечающих двум различным выборам направления оси а').

3) преобразование переводит в точки все точки одной прямой и только эти точки.

Рассмотрим ienepb эти три случая последовательно.

1)         Пусть осевое круговое преобразование Л не переводит в точку ни одну точку плоскости. Рассмотрим две произвольные точки А' и в' и две проходящие через эти точки прямые а' и ft', отли­чающиеся только направлением; пусть а и ft суть прямые, которые Л переводит в я' и Ь'. В точки прямой А'в' («окружности нуле­вого радиуса, касающиеся прямых а' и b '») переходят окружности, касающиеся прямых а и Ь. Если бы прямые а и b пересекались, то в число последних окружностей входила бы также и точка М пере­сечения прямых я и b (ср. рис. 32, б на стр. 492); поэтому в одну из точек прямой А'в' переходила бы точка М, что противоречит нашему условию. Отсюда следует, что прямые а и b противопарал- лельны и все касающиеся их окружности (в частности, и окружно­сти А к В, которые А переводит в точки А' и В') равны (ср. выше рис. 32, а; прямые а и b не могут быть параллельны, ибо таких прямых вообще не касается ни одна окружность). Итак мы видим, что в любые две точки А' и В' переходят окружности одного ра­диуса; следовательно, Л переводит в точки все окружности одного .определенного радиуса г.

Заменим теперь наше круговое преобразование особой инверсией (расширением и переориентацией) Г, переводящей в точки окруж­ности именно этого радиуса г, сопровождаемой, быть может, еще некоторым дополнительным преобразованием Р. Это дополнительное осевое круговое преобразование переводит все точки снова в точки ■(ибо уже Г переводит окружности радиуса г в точки) и, значит, является преобразованием подобия; таким образом, наше исходное преобразование Л является особой инверсией, сопровождаемой пре­образованием подобия.

2)         Докажем теперь, что осевое круговое преобразование Л, пере­водящее в точку одну единственную точку А, не может сущест­вовать. Действительно, две отличающиеся только направлением пря­мые а и Ь, проходящие через точку А, должны переходить в две прямые а' и Ь', пересекающиеся в точке А', в которую переходит А. Рассмотрим еще некоторую, не параллельную а прямую а,; она и совпадающая с ней по положению (отличающаяся от а, лишь нап­равлением!) прямая ft, переходят в противопараллельные прямые а[ и b\ (ибо ни одна из точек прямой а, не переходит в точку; ср. выше). Заметим теперь, что всегда найдутся такие две окруж­ности М', Mi, касающиеся соответственно а' ц ft', а, и Ь„ что одна из них заключается внутри другой (рис. 44, а, б). В эти две окружности переходят две точки М и Мх прямых а и а,; две отли­чающиеся направлением прямые, совпадающие по положению на пло­

скости с прямой ЛШ,, должны будут перейти в общие каса1ельные окружностей М' и /И,; но таких касательных вовсе не существует. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

3) Пусть осевое круговое преобразование Л переводит в точки все точки некоторой прямой о (которую мы здесь будем считать направленной) и только эти точки; далее пусть Л перево­дит в некоторую не лежащую на прямой о точку А' определенную окружность А. Заменим Л обыкновенной осевой инверсией Г с осью о, переводящей окружность А в точку Л, (такую, что о есть радикаль­ная ось окружностей А и Л,), сопровождаемой, если это требуется,

Рис. 44.

каким-то дополнительным осевым круговым преобразованием Р. Пре­образование Р переводит все точки прямой о снова в точки и, кроме того, переводит в точку А' точку Л,; поэтому оно переводит все точки плоскости снова в точки (см. выше стр. 505) и, значит, яв­ляется преобразованием подобия. Таким образом, мы видим, что в этом случае Л представляет собой обыкновенную осевую инвер­сию Г, сопровождаемую преобразованием подобия Р. Этим и завер­шается доказательство нашей теоремы.