• 5

9.4. Теорема Брианшона

. Осевая инверсия, так же как и точечная инверсия, может быть использована при доказательстве геометрических теорем и в решении задач на построение ')• В качестве примера приведем одну теорему, доказываемую с применением свойств осевой инверсии.

Покажем, что прямые р, q и г, соединяющие противоположные вершины А, и Л4, Аг и /4„ А, и At произвольного (возможно—самопересекающегося!) описанного вокруг окружности S шестиугольника Л1Л2Л3,Д1Л5Лв, пересе­каются в одной точке или параллельны (теорема Брианшона).

Пусть S,— произвольная (направленная) окружность, касающаяся сто­рон Л,Л2 и Л4Л5 нашего шестиугольника (стороны шестиугольника мы здесь будем считать направленными, приписав им направление, отвечающее какому-то произвольно выбранному направлению окружности S); S2—ок­ружность, в которую переводит S, осевая инверсия с осью q и направ­ляющей окружностью S (S2 касается сторон Л2Л, и Л8Л,); S,—окружность, в которую переводит S, осевая инверсия с осью г и той же направляющей окружностью S (Sj касается сторон А3А1 и ЛеЛ,); наконец, S,—окруж­ность, в которую переводит S, осевая инверсия с осью р и направляющей окружностью S (S, снова касается сторон Л4Л5 и Л,Л2; рис. 42). Обозна-

') Много примеров такого рода имеется в указанной в списке лите­ратуры книге И М. Яг лом а [1].

чая точки касания прямых A,A2, Л2Л,, Л3Л4 и Л.,Л5 с окружностью S через Я,, Р2, Ра и Р4, а точки касания тех же прямых с окружностями S, и S„ S2, S5, снова S, и S, —через Q, и Q„ Q2, Q„ Q4 и Q4, в силу свойства Б осевой инверсии, имеем (см. также стр. 485):

^Q, =0Jz = Q А =

Но равенство PiQl=P1Q, означает, что окружности S, и S, — это одна и та ж е окружность. Следовательно, прямые q, г и р являются осями инвер-

\

 

сий, переводящих S, в S2, S2 в S, и, наконец, S3 снова в S„ и значит, совпа дают с попарными радикальными осями трех окружностей S,, Sj_ и S, (см. доказательство свойства А осевой инверсии). Но отсюда вытекает, что эти прямые пересекаются в одной точке — в радикальном центре ок­ружностей S,, S2 и S,—или параллельны (см. п. 2.3).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я