• 5

9.3. Свойства осевой инверсии

. Перейдем теперь к обыкновен­ной осевой инверсии (это преобразование мы часто будем называть

            просто осевой инверсией)

"v         с осью о и степенью k.

Очевидно, что каждая окружность S сети, каса­ющаяся определенной прямой а, пересекающей о в точке М, касается также л прямой а', пересекаю- шгй о в той же точке М и удовлетворяющей усло­вию

Vhc. 39); это вытекает из того, что прямая о имеет относительно ок­ружности степень k. Отсюда вытекает, что осевая инверсия с осью о и степенью k переводит произвольную прямую а в прямую а', пересекаю­щую о в той же точке, что и а, и удовлетворяющую соот­ношению (*)—это определение осевой инверсии полностью ана­логично аналитическому определению точечной инверсии (см. стр. 471). Что же касается параллельных оси о инверсии прямых, то каждая окружность 5 сети, касающаяся такой прямой Ь, касается также прямой b', противопараллельной b и расположенной так, что отно­шение расстояний от b и от Ь' до о равно k\ это вытекает из того,

что степень k прямой о относительно окружности 5 равна

(рис. 39). Поэтому инверсия переводит прямую b в Ь' (и Ь' в Ь).

Это определение осевой инверсии можно несколько «геометризи- ровать». Условимся задавать определяющую инверсию сеть осью о и принадлежащей сети окружностью 50 (т. е. такой окружностью 51,, что ее степень относительно о равна k); эту окружность мы будем

 

4 м

I

л;

6)

Рис 38

называть направляющей окружностью осевой инверсии. Очевидно, что осевая инверсия переводит каждую касательную а0 окружно­сти 50 во вторую касательную а'0 той же окружности, проходящую через точку пересечения а0 с о; касательную Ьс окружности 50, не пересекающую о, — во вторую не пересекающую о касательную b't окружности S0; произвольную прямую а, пересекающую ось о и парал­лельную касательной ай окружности S0, —в прямую а', пересекающую о в той же точке, что и а, и параллельную касательной а'0 окружно­сти 50; произвольную прямую Ь, параллельную не пересекающей о касательной Ьв окружности Se,—в прямую ft', параллельную b't и такую, что отношение расстояний от b и Ь' до о равно отношению рас­стояний до о от Ье и Ьв (рис. 39).

Очевидно, что всякая невырожденная осевая инверсия (т. е. осо­бая инверсия или обыкновенная инверсия) «переставляет» (направлен­ные) прямые плоскости, т. е. переводит каждую прямую а в ту прямую акоторая сама переходит в а1). Докажем теперь два менее очевидных свойства осевой инверсии.

А. Всякая невырожденная осевая инверсия переводит каждую окружность ограниченного радиуса снова в окружность ограни­ченного радиуса (т. е. каждую окружность или точку снова в окруж­ность или точку).

Так как и расширение и переориентация переводят каждую окружность ограниченного радиуса снова в окружность ограничен­ного радиуса, то очевидно, что и особая инверсия обладает этим свойством. Более сложно показать, что им обладает обыкновенная осевая инверсия. Обозначим цен^р направляющей окружности S0

') Особая инверсия переводит каждую прямую а в противопараллель- ную ей прямую а', удаленную от а на постоянное расстояние 2г и рас­положенную справа (или—при отрицательном г—слева) от с. Но в этом случае и а расположена справа (слева) от с' (прямые с и с' противопарал- лельны!), откуда и вытекает, чт<> а' переходит в а.

 

Рис. 39

нашей осевой инверсии через О0, и пусть а0 и a'Q — две касательные окружности 50, пересекающиеся в точке Мв оси о и касающиеся окружности S0 в точках А0 и А0; R0 и <20— точки пересечения хорды А0Ао с прямой О0М0 и с перпендикуляром О0Р„, опущенным из О0 на ось о (рис. 40). Из подобия прямоугольных треугольни-

ков О, (?„/?„ и 00Ж0Р0, O0ADR0 „ 00МпА0 имеем

0„R„ 0„А., „     и"к<> иоиа

и о~д — о~м~ ■ 11еРемножая почленно эти два равенства, получаем

OoQo=OHo   ОаА1

откуда вытекает, что точка Q0 не зависит от выбора пары ка­сательных а0, а0 (т. е. от выбора точки Ма оси о).

 

Рассмотрим теперь произвольную окружность 5 с центром О и пусть Q—такая точка перпендикуляра, опущенного из О на о, что OBQ0:OQ = г0:г, где г0 и г — (положительные или отрицательные!) радиусы окружностей S0 и S; пусть, далее, S' —такая окружность, что центр подобия окружностей S и S' совпадает с Q, а радикальная ось окружностей S и S'—со'). Мы утверж-

') Если S есть точка («окружность нулевого радиуса»), то S' — такая окружность, что о есть радикальная ось окружностей S и S' и O0Q0:O'S = = r0:r', где О' и г' — центр и радиус окружности S'; если S—такая соб­ственная окружность, что радикальная ось окружностей S и Q совпадает с о, то S' совпадает с точкой Q; если S есть точка оси о инверсии, то S' совпадает с S.

Для построения окружности S' проще всего построить пару касатель­ных а0 и окружности S0 и параллельные им прямые а к а' (о0 и а0, а и с' пересекаются на оси о). Если S касается прямой а, то из доказан­ного ниже следует, что S' касается а'\ это, а также то, что центр подобия окружностей S и S' нам известен (точку Q можно построить), позволяет иайти S'.

даем, что рассматриваемая осевая инверсия переводит окружность 5 в 6".

Для доказательства заметим, что точка /И, пересечения касательных я и я, окружности S, параллельных касательным я0 и я0 направляющей окружности 6"0, принадлежит прямой о,, расположенной по отношению к 5 точно так же, как прямая о — по отношению к S0 (т. е. такой, что II ° и О0Р0:ОР= гв:г, где Р—основание перпендикуляра, опущен­ного из О на о,); это вытекает из того, что фигура, образованная окружностью 5 и ее касательными я, я,, подобна фигуре, образо­ванной окружностью 50 и касательными я0, я0. Далее, прямая АА,, соединяющая точки соприкосновения прямых я и я, с окружностью S, проходит через точку q (это следует из тех же соображений подо­бия). Касательная а' окружности S' в точке А' пересечения прямой Q.4, с S' параллельна я, (ибо Q есть центр подобия окружностей S и S'; рис. 40); далее точка М пересечения прямых я и я' лежит на радикальной оси о окружностей 51 и S' (ибо МА = МА', так как треугольники МХААХ и МАА' подобны, а М1А=М1А1 (рис. 40)). Но то, что касательные я и я' окружностей S и S', параллельные касательным я0 и я0 окружности S0, пересекаются на прямой о, и доказывает наше утверждение (см. определение осевой инверсии, стр. 499).

Б. Невырожденная осевая инверсия сохраняет касательное рас­стояние окружностей. Точнее, если At и А2 — точки соприкосновения двух окружностей St и S2 ограниченного радиуса с их общей каса­тельной t, и At, А2—точки соприкосновения окружностей и Sit в которые переводит 5, и S2 невырожденная инверсия, с прямой t', в которую эта инверсия переводит прямую t, то

a,a2 = a'2a',.

Прежде всего очевидно, что если особая осевая инверсия пере­водит две окружности ограниченного радиуса S, и S2 в окружности

s, и 52, то касательные расстояния аха2 и atas этих пар окруж­ностей таковы, что ata2 =—У\,,42=Л2Д (ибо при расширении каса­тельное расстояние двух окружностей не меняется, а при переори­ентации оно меняет" знак); таким образом, надо только показать, что обыкновенная инверсия обладает свойством Б. Заметим далее, что если МА и МА' суть касательные расстояния точки М оси о инверсии и двух окружностей .S и S', переходящих одна в другую при ин­версии, то

МА = Л7Й;

это следует из того, что о есть радикальная ось окружностей 5 и S' (рис. 40). Тем самым мы доказали наше утверждение для того слу­чая, когда одной из двух окружностей является точка М оси о

инверсии. Если же 5, и St — две произвольные окружности, перехо­дящие при инверсии в окружности S, и S2, то точка М пересечения общих касательных AtAt и А,Аг к и и к S, и 5, лежит на оси инверсии (рис. 41); поэтому имеем

МА, = А,М; МА2 = АгМ, откуда и следует, что

В частности, из свойства Б инверсии следует, что невырожден­ная осевая инверсия переводит две касающиеся окружности в ка­сающиеся окружности.

 

Рис. 41.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я