• 5

9.2. Вырожденная инверсия и особая инверсия

. Очевидно, что вырожденная инверсия переводит каждую прямую плоскости, не параллельную оси о сети, в одну и ту же прямую о,—это преобра­зование не представляет интереса, и мы в дальнейшем исключим его из рассмотрения. Более интересна особая осевая инверсия. Пред­положим для начала, что исходная сеть состоит из всех окружностей радиуса нуль, т. е. из всех точек. Совокупность всех «окружностей нулевого радиуса», «касающихся» прямой а (т. е. совокупность всех точек прямой а), представляет собой ряд (равных) окружностей с общими касательными а и а', где прямая а' отличается от пря­мой а только своим направлением. Таким образом, мы видим, что особая инверсия, отвечающая сети «нулевых» окружностей (точек) лишь изменяет направление каждой прямой плоскости; такое пре­образование в множестве направленных прямых естественно называть переориентацией (т. е. «переменой направлений»). Очевидно, что переориентация переводит каждую окружность S в окружность S', отличающуюся от 5 только направлением (в том смысле, что прямые, касающиеся окружности переходят в прямые, касающиеся окруж­ности 5'); в частности, точки («окружности нулевого радиуса») переориентация переводит в себя.

Пусть теперь исходная сеть окружностей состоит из всех окруж­ностей радиуса г. Очевидно, что все такие окружности, касающиеся определенной прямой а, касаются также прямой а', противопарал лельной а и удаленной от а на расстояние 2г (величина 2г может быть и отрицательной—в соответствии со сказанным на стр. 482 это означает, что прямая а' расположена справа от а; на рис. 35 величина 2г положительна). Таким образом, в этом случае особая инверсия сдвигает каждую прямую на расстояние 2г от его перво-

') Этот термин можно понимать в двояком смысле. Можно считать, что слово «осевая» подразумевает, что рассматриваемое преобразование задается не точкой О—«центром» инверсии, как точечная инверсия (кото рую в таком случае лучше было бы назвать «центральной инверсией»), а направленной прямой о—«осью» преобразования. Можно же рассм три- вать слово «осевая» как указание на то, что наше преобразование перево­дит не точки плоскости снова в точки, а направленные прямые («оси») в направленные прямые («оси»), т, е. является осевым преобразованием плоскости (см. ниже, стр. 504).

 

 

 

 

 

о)

Рнс. 36.

название «расширение»'). Касающиеся окружности при расширении

') То обстоятельство, что расширение может переводить точки в окруж­ности и наоборот, используется в элементарной геометрии: так известное

начального положения и изменяет направление прямой на обратное. Преобразование, переводящее каждую (направленную^ прямую а, в прямую а', параллельную

а и удаленную от а на опре-        ^у^——

деленное расстояние d, пазы- Г Г А, \ f\ []( \ \ ваетсп расширением на вели- II ())()(() ) ) чину d. Очевидно, что при \ \ у У \ / \ У\ ] J расширении на величину d У\У>с       ^

каждая окружностьс центром      а

О и радиусом г переходит в        Рис. 35.

новую окружность с тем же

центром О, но радиусом г + d (рис. 36, а), в частности точки переходят в окружности радиуса d (рис. 36, б) —с этим обстоятельством и связано

построение общей касательной двух окружностей (рис 37), по существу, сводится к тому, что две окружности S, и S2 при помощи расширения переводятся в точку Sj и окружность S2. 32 Энциклопедия, кн. 4

 

А'

в'

переходят в касающиеся окружности (рис. 38. а); более общо, две окружности, касательное расстояние которых равно t, переходят при расширении в новые окружности, касательное расстояние которых также равно t (рис. 38, б). Итак, мы видим, что особая осевая инверсия, отвечающая сети окружностей радиуса г, представляет собой расширение на величину 2г, сопровождаемое переориентацией.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я