• 5

8.3. Заключение.

 Как мы видим, вопрос о независимости системы аксиом евклидовой геометрии приводит к рассмотрению многих новых «геометрических пространств», весьма сильно отличающихся по своим свойствам от привычного нам пространства Евклида.

Весьма интересно, например, «конечное пространство», которое получается при замене поля действительных чисел конечным полем, скажем, полем вычетов целых чисел но простому числу. В «конечном пространстве» имеется лишь конечное число точек на каждой прямой, на каждой плоскости и во всем пространстве, а также конечное число прямых и плоскостей. «Конечные пространства» являются простейшими

') Эта модель тесно связана с геометрическими построениями. См. в этой книге ЭЭМ статью: «О разрешимости задач на построение с по­мощью циркуля и линейки», стр. 203—227.

примерами «дискретных пространств», в которых отсутствуют пре­дельные точки и непрерывность

Определенные таким образом абстрактные пространства, которые можно строить самыми разнообразными способами, позволяют созда­вать такие пространственные схемы, с помощью которых мы получаем возможность более точно отражать реальное, физическое простран­ство, чем с помощью схемы пространства Евклида. Кроме того, эти абстрактные пространства широко применяются в математике,а через нее имеют новые приложения к реальному миру.

Еще Лобачевский (а также и К. Ф. Гаусс) поставил задачу об экспе­риментальной проверке того, какая геометрия действительно имеет место в реальном мире: геометрия Евклида или Лобачевского. Как дока­зано в общей теории относительности, пространство (и время) реального мира с весьма большим приближением выражается так называемой рима- новой геометрией, открытой в середине XIX века немецким математиком Б. Риманом (см. статью о неевклидовых геометриях в книге V ЭЭМ).

Однако и эта пространственная схема является далеко не послед­ним приближением. Многие физики считают, что целый ряд затруд­нений и противоречий в математическом аппарате современной кван­товой физики объясняется тем, что квантовые, дискретные явления описываются в непрерывном пространстве, и для преодоления этих затруднений следует перейти к дискретному, квантованному простран­ству. Тот факт, что непрерывное пространство вполне удовлетворяет требованиям классической физики, нисколько не противоречит этому, так же как требованиям классической гидродинамики и электродина­мики удовлетворяет представление о жидкости и электромагнитном поле как о непрерывных средах, в то время как на самом деле жидкость состоит из дискретных молекул, а электромагнитное ноле состоит из дискретных квантов. Таким образом, вполне возможно, что геометрия вернется к представлениям Демокрита о дискретных атомах пространства, разумеется, не в столь наивной форме. В этом случае примут существенно новый вид и основные ноня 1ия геометрии.

Мы видели, что представления об основных понятиях геометрии и их взаимоотношениях неоднократно изменялись в ходе развития науки. Новые научные открытия будущего, несомненно, приведут к даль­нейшим изменениям и в наших геометрических представлениях.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я