• 5

8.2. Сеть окружностей

. Рассмотрим теперь совокупность всех (направленных) окружностей, каждые три из которых имеют одну и ту же ось подобия о; такая совокупность окружностей назы­вается (собственной) сетью окружностей, а прямая о — осью сети. К числу сетей мы будем причислять также совокупность всех окруж­ностей плоскости фиксированного (по величине и по знаку!) радиуса г («сеть равных окружностей»); при г 0 мы приходим к совокупности всех точек плоскости, которая тоже входит в число сетей окружно­стей («сеть окружностей нулевого радиуса»). Очевидно, что собст­венную сеть окружностей можно также определить как совокупность всех окружностей, относительно которых данная прямая т имеет одну и ту же степень k\ эта степень k называется степенью

') Эти три типа рядов окружностей (см. рис. 32, а, б; 32, в и 32, е, д) называются также эллиптическим рядом окружностей, параболическим рядом н гиперболическим рядом.

ряды и сети окружностей

493

сети. Отсюда вытекает, что собственную сеть можно также опре делить как совокупность всех окружностей, радиус г которых нахо­дится в постоянном отношении / к расстоянию d от центра окруж­ности до оси о сети; эта величина / связана со степенью k сети

, 1+ft / r — d . г l+ft\ „ соотношением /= у—1если— ^ = ft, то -j = у—^ Ьсли степень k

сети положительна, то сеть можно также определить как совокуп­ность всех окружностей, пересекающих ось о под постоянным углом а

^таким, что tg= см. рис. 33,aj ; если ft=0, то сеть состоит

из всех окружностей, касающихся оси о (рис. 33,6); наконец, если ft < О, то нам приводится довольствоваться более сложным определением сети как совокупности всех таких окружностей 5, что S видна под постоянным углом ф из точки Р—проекции центра О

окружности на ось о сети ^угол ф связан с числом ft соотноше-

Ф г 1 + ft         „„ \ ,

нием sin y = d= у—^; см. рис. 33,в ] ).

Докажем теперь, что пересечение двух различных сетей (сово­купность окружностей, принадлежащих одновременно двум сетям) образует ряд (если только вообще есть окружности, принадлежащие этому пересечению). Действительно, пересечение сети окружностей постоянного радиуса г и собственной сети с осью о и степенью ft образует ряд равных окружностей, состоящий из окружностей радиу-

1 —ft ( , r—d ,\ са г, расстояние d центра которых до о равно r       J '

пересечения двух различных сетей равных окружностей, так же как н пересечения двух различных собственных сетей с общей осью вообще не существует. Далее, окружности, принадлежащие одновременно двум собственным сетям с непересекающимися осями о, и о, и сте­пенями ft, и ft2, удовлетворяют условиям            и г +d* ~

г 1 + к, . r 1 + ft2 , или — \ — k' и d~ ~ 1 —ft ~ »' здесь г — РаДиУс окружности,

dx и d2—расстояния от центра окружности до о, и до ог. Но рас­стояния d, и от любой точки плоскости до непересекающихся прямых о, и ог (рис 34) связаны соотношением d2=±(d, — о); здесь а — постоянное (по величине и знаку) расстояние от точек прямой о2 до прямой о, и знаки «+» и «—» отвечают случаям, когда прямые о, и ог параллельны (одинаково направлены) и когда они противопараллельны (противоположно направлены). Таким обра­зом, мы приходим к системе уравнений

-=/ + Г =1                    d, »' d,— а

') Собственная сеть первого типа называется гиперболической, вто­рого— параболической и третьего—эллиптичгской.

 

 

 

из которой следует что

это означает, что пересечение наших двух сетей не существует, если о, параллельно ог и /,= 1г или о, противопараллельно ог и /, = — /,, а во всех остальных случаях представляет собой ряд

равных окружностей. Наконец, если оси о, и о, двух сетей пересе­каются в точке О, то пересечение сетей образует ряд с центром О: действительно, точка О является центром подобия любых двух окружно­стей 5, и St; принадлежащих одновременно обеим сетям, ибо через эту точку проходят две прямые, имеющие относительно 5, и одинаковые степени (прямые о, и ог).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я