• 5

7.2. Центр подобия двух окружностей

. Рассмотрим теперь две собственные окружности и S2 и найдем все прямые, имеющие относительно St и S2 одинаковые степени-, эта задача аналогична задаче об отыскании точек, имеющих одинаковые степени относи­тельно двух данных (ненаправленных) окружностей (см. п. 2.2.). Если т — такая прямая, dx, dx — расстояния центров О, и О, окруж­ностей и S2 от этой прямой, г, и гг — радиусы этих окружностей, то в силу доказанного выше будем иметь

— ___ гг—d2 r, + d, r. + d,'

откуда, составляя производную пропорцию, получим

(г,—d,) + (г, + dt) ^ (r2—d2) + (г2 + d2)      rj_ г,

(',~ dxy- (г, + d,) (r2- dt) - (r, + d2)    d, ~ d, '

Из последней формулы сразу следует, что если г1—гг, то d, = d,, т. е. прямая т параллельна линии центров 0,0,. Если же исклю­чить последний случай, то d, Ф dt и прямая т пересечет линию центров в некоторой точке О; при этом из рис. 30 сразу следует соотношение

00, __ rf, _ г,

00, ~ d2 ~г2 '

чем полностью определяется положение точки О. Обратно, если

 

 

 

прямая т проходит через такую точку О на линии центров, что 00, г,

=-i = — , то               

00, г,   d, = 00, = г,

d, 00, г, '

откуда вытекает, что эта прямая имеет одинаковые степени относи­тельно окружностей и St. Таким образом, мы заключаем, что если г, Ф /■,, то прямые, имеющие относительно окружностей

S, и St одинаковые степени,—это те (и только те) прямые, которые пересекают линию центров 0,0, в такой точке О, что

= —. Эта точка О называется центром подобия окружностей St'и S\ ').

Очевидно, что если окружности S, и S, имеют две общие ка­сательные (рис. 30, а, б), то их центр подобия совпадает с точкой пересечения общих касательных; это вытекает из того, что общие касательные имеют одинаковые (равные нулю) степени относительно обеих окружностей. Если окружности и S, касаются, то их един­ственная общая касательная также имеет одинаковые степени отно­сительно St и St, откуда вытекает, что центром подобия этих ок­ружностей является точка их касания. Равные окружности вообще не имеют центра подобия, ибо в этом случае прямые, имеющие относительно обеих окружностей одинаковые степени, не пересека­ются между собой. Заметим еще, что все прямые, проходящие через центр подобия окружностей 5, и 5, и пересекающие одну из них, пересекают и вторую, и притом под тем же углом, что и первую (ибо степень прямой т относительно пересекающей ее окруж­ности 5 полностью определяется углом между линиями т и 5); отсюда снова можно усмотреть, что если окружности и St имеют две общие касательные, то центр подобия О совпадает с точ­кой их пересечения. Важно еще заметить, что если направления двух окружностей SJt St одинаковы (обе направлены по или обе против часовой стрелки), так что радиусы гЛ и rt имеют оди­наковые знаки, то расстояния d, и d, также имеют одинаковые знаки (ибо d1:dt = г, :г,), и потому центры О,, 02 окружностей рас­положены по одну сторону от любой прямой, проходящей через центр подобия. Следовательно, центр подобия расположен вне от­резка 0,0, (рис. 30, с). Если же окружности и St имеют противо­положные направления, то их центр подобия расположен на отрезке 0,0, (рис. 30*, б).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я