• 5

§ 7. Центр подобия и ось подобия

7.1. Степень прямой относительно окружности. Рассмотрим теперь следующую теорему, аналогичную той, которая служила для определения степени точки относительно окружности (см. § 2, стр. 454): Если на прямой т взять несколько точек, лежащих вне ок­ружности S, то произведение тангенсов половин углов, состав­ленных прямой т с проходящими через каждую из точек каса­тельными (произв'едение tg            ■ tg     на рис. 29, а, б), бу­дет одним и тем же для всех этих точек

Для доказательства опустим из центра О окружности S перпен­дикуляр ОР на прямую т; далее обозначим через А и В точки соприкосновения с 5 касательных а и Ь, проходящих через точку М прямой т. Из треугольника ОАР по теореме тангенсов получим

РАО—/_ОРА

2          2          _ ОР — ОА

£РАО+ £ОРА ' ОР+ОА'

** 2

Так как в четырехугольнике ОАМР два противоположных угла пря­мые, то вокруг него можно описать окружность; следовательно, /_РАО= /_РМО, /_ОРА = /_ОМА (как углы, опирающиеся на

486

окружное i n

/

одну дугу). А так как

РМО ОМА = РМА и

РМО— /_ ОМА = РМО - /_ О МБ = /_РМВ,

то получаем

'Lg 1 ОР—ОА

'РМА ОР+ОА tg^—

Mo на рис. 29, я, б

/_РМВ = +ЗС (/», ft), ^ РЛМ = л f §С (ш, а) обратите внимание на направление углов!); следовательно,

и, значит,

t„ < И. о)         b) _r—d

° 2 ё 2 ■ r d'

где г =            радиус окружности d = OP—расстояние от центра

5 до т. Последняя формула остается в силе при любых (по вели­чине и но знаку; см. выше, стр. 482) г и d '); она и доказывает требуемую теорему.

Произведение tg а^ ■ tg ^ b^ называется степенью (направ­ленной) прямой т относительно (направленной) окружности S. Очевидно, что степень прямой т относительно окружности 5 (рав- r—d\

ная отношению ) положительна, если прямая т пересекает

окружность и отрицательна в пробивном случае (из рис. 29, а, б видно, что в первом случае углы <£(т, а) и        b) направлены

одинаково, а во втором — противоположно). Степень т относитель­но 5 равна нулю в том и только в том случае, когда прямая т ка­сается окружности S; единице — в том и только в том случае, когда прямая т проходит через центр окружности 5; минус единице—в том и только в том случае, когда 5 есть точка, через которую прямая т не проходит. Если т совпадает по положению на плоскости с каса­тельной к окружности S, но отличается от нее направлением, то сте­пень прямой т относительно окружности 5 следует считать бесконеч­ной; наконец, если 5 есть точка и т проходит через S, то степень вооб­ще не может быть определена. Отметим еще, что если прямая т пересе­кает окружность S, то степень прямой т относительно 5 равна квадрату тангенса половины угла, образованного прямой т с S; для

') Рекомендуем читателю самостоятельно рассмотреть ряд представля­ющихся случаев (на рис. 29, а. б и г и d положительны).

доказательства этого достаточно принять за точку М точку иересе-

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я