• 5

6.2. Дальнейшее расширение понятия окружности

. Заметим,

что сходство между окружностью — множеством точек — и окруж­ностью— множеством прямых — нарушается во многих пунктах Так, например, две окружности могут иметь не больше двух общих точек, но до четырех общих прямых (т. е. общих каса­тельных); центры всех окружностей, проходящих через две дан­ные точки, лежат на определенной прямой (рис. 23, а), в то время как центры всех окружностей, касающихся двух данных прямых, заполняют две прямые (рис. 23,6); существует единственная окруж­ность, проходящая через три данные точки (рис. 24, а), но целых четыре окружности, касающиеся трех данных прямых (рис. 24, 6) и т. д. Для того чтобы устранить эти расхождения, мы будем всюду в этой главе рассматривать направленные окружности и пря­мые, т. е. окружности и прямые, на которых выбрано определенное направление, на рисунках указываемое стрелкой (ср. стр. 450). На­правленные окружности называются еще циклами, а направленные прямые — осями. При этом мы будем считать, ^то (направленные) окружности и S2 касаются только в том случае, если направления этих окружностей в общей точке совпадают (рис. 25, а); таким образом, изображенные на рис. 25,6 две окружности теперь не

 

 

 

 

 

11 Энциклопедия, кн. 4

/

считаются касающимися. Это же условие мы сохраним и для касания (направленной) окружности с (направленной) прямой S0 («окруж­ностью бесконечного радиуса»). Две (направленные) прямые мы будем называть параллельными только в том случае, если направления этих прямых совпадают. Целесообразность введения направленных прямых и окружностей подтверждается тем, что две (направленные) окруж­ности имеют не более двух общих (направленных) касательных (рис. 26, с); центры всех (направленных) окружностей, касающихся двух данных (направленных) прямых, лежат на одной прямой (рис. 26,6); существует единственная (направленная) окружность, касающаяся трех данных (направленных) прямых ( рис. 26, в) и т. д. В дальнейшем прилагательное «направленная» мы будем, как правило, опускать.

 

 

 

Рис. 25.

Для того чтобы сохранить в силе приведенное выше определение окружности, теперь приходится ввести дополнительное соглашение: ведь прямые, удаленные от точки О на расстояние г, могут касаться одной или другой из двух окружностей, отличающихся друг от друга только направлением. Мы будем считать расстояние от точки О до (направленной) прямой I положительным, если О лежит слева от I (рис. 27, с), и отрицательным в противном случае. В таком случае придется считать, что радиус окружности может быть и от­рицательным; (направленную) окружность 5 с центром О и (положи­тельным, отрицательным или равным нулю) радиусом г можно по- прежнему определить как «геометрическое место» (направленных) прямых, удаленны* от О на расстояние г. Очевидно, что все окруж­ности, направленные против часовой стрелки, будут иметь положи­тельный радиус, а направленные по часовой стрелке—отрицательный (рис. 27,6).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я