• 5

Б. ОКРУЖНОСТЬ КАК СОВОКУПНОСТЬ ПРЯМЫХ § 6. Направленные окружности

6.1. Аналогия между свойствами точек и прямых. Значительную роль в геометрии играет то обстоятельство, что свойства точек во многом напоминают свойства прямых линий г). Так, например, точку можно задать двумя (проходящими через эту точку) прямыми, а пря­мую—двумя (лежащими на этой прямой) точками; точки прямой, заключенные между двумя данными точками А я В, образуют отрезок АВ, а проходящие через точку прямые, заключенные между двумя данными прямыми а и Ь,— угол /_(а, Ь) (близость между понятиями отрезка и угла хорошо иллюстрируется сказанным в п. 1.1); через три вершины треугольника проходит окружность («описанная» окруж­ность треугольника), и трех сторон треугольника касается окруж­ность («вписанная» окружность треугольника) и т. д. Цель настоящего раздела состоит в том, чтобы показать, как далеко заходит этот параллелизм.

В разделе А мы всюду рассматривали окружность как совокуп­ность точек; такой подход является привычным и для школьного курса геометрии. В противоположность этому теперь мы будем смотреть на окружность как на совокупность прямых, касатель­ных к этой окружности; другими словами, под окружностью S мы

') Из того, что пучок окружностей можно определить как совокуп ность всех окружностей, перпендикулярных двум данным, сразу следует, что инверсия переводит пучок окружностей снова в пучок (ибо перпенди­кулярные окружности при инверсии переходят в перпендикулярные). То, что связка при инверсии переходит в связку, несколько менее оче­видно; доказательство этого составляет несложную, но содержательную задачу, которую мы предлагаем читателю решить самостоятельно.

2) По этому поводу ср стр. 130—133

будем понимать совокупность всех прямых плоскости, удаленных на одно и то же расстояние г от фиксированной точки О—центра окружности (рис. 22, а). При этом величина г — радиус окружности — может равняться нулю; в таком случае мы приходим к точке S0, которая здесь рассматривается как совокупность всех прямых, про­ходящих через S0 (рис. 22, б). Таким образом, и с принятой в этой главе точки зрения точка является частным случаем окружности («окружность нулевого радиуса»).

 

 

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я