• 5

8.2. О независимости аксиоматики евклидовой геометрии.

 Ра­зумеется, ввиду большого числа аксиом геометрии вопрос о' незави­симости приведенной выше аксиоматики геометрии весьма сложен. Существование неевклидовой геометрии Лобачевского доказывает неза­висимость аксиомы параллельности от остальных аксиом геометрии Евклида. Системой аксиом геометрии Лобачевского и является та система аксиом, которая получается из приведенной нами аксиоматики геометрии Евклида заменой аксиомы 18° аксиомой Лобачевского: «Через точку вне прямой можно провести в ее плоскости более одной прямой, не пересекающей данную прямую». Непротиворечивость геометрии Лобачевского доказывается с помощью моделей, наиболее важные из которых были построены во второй половине XIX века Э. Бельтрами, Ф. Клейном и А. Пуанкаре (см. статью о не евклидовых геометриях в пятой книге ЭЭМ).

Аналогичным приемом можно доказать независимость аксиом не­прерывности. Независимость аксиомы Архимеда доказывается при помощи построения «неархимедовой геометрии», моделью которой может служить совокупность троек чисел (х, у, z), являющихся уже не действительными, а комплексными числами, причем соотношение «больше» в поле комплексных чисел устанавливается следующим образом: число a-\-bi считается большим числа a' -f- b'i, если b>b', или в случае, когда b = b', если а>а'. Поэтому, если в поле дей­ствительных чисел для всяких двух чисел о и Ь, из которых ау>Ь,

существует такое натуральное число п, что nb>a (это свойство действительных чисел и обеспечивает выполнение аксиомы Архимеда на прямой), то в поле комллексных чисел существуют такие числа а и р, для которых а>р, но не существует натурального числа п, для которого имело бы место неравенство «p>a. Такими числами являются, например, i и 1, так как при всех п произведение п-1 меньше i. Это свойство комплексных чисел и обеспечивает невыпол­нение аксиомы Архимеда на прямой в указанной модели неархимедо­вой геометрии.

Независимость аксиомы Кантора доказывается при помощи «некан- торовой геометрии», моделью которой является совокупность троек чисел х, у, z, являющихся действительными числами, но не произ­вольными, а принадлежащими к полю, элементы которого получаются из единицы применением конечного числа сложений, вычитаний, умножений, делений и извлечений квадратного корня'). Поэтому, если на прямой y = z = 0 заданы отрезки А1В1, АгВг, ..., удовлет­воряющие условию аксиомы Кантора, причем значения х для точек Ах, Bt, At, В2, ...—рациональные числа, стремящиеся при п—► оо к действительному числу, не входящему в указанное поле, то точки С, существование которой утверждается аксиомой Кантора, в этой мо­дели не существует. По существу сам Евклид рассматривал не то, что мы называем «пространством Евклида», а именно это неканторово пространство (см. выше, текст на стр. 15—16).

Особую роль в аксиоматике геометрии играет аксиома 8°, содер­жание которой по существу сводится к утверждению, что простран­ство имеет три измерения. Независимость этой аксиомы от осталь­ных доказывается, например, построением модели четырехмерного пространства Евклида. В статье «Многомерные пространства» в книге V ЭЭМ читатель найдет описание и четырехмерного про­странства и пространств любого (конечного) числа измерений. В ма­тематике рассматриваются 'также «бесконечномерные» пространства. Они играют весьма важную роль в современной математике и физике.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я