• 5

5.2.  Круговые преобразования

. Преобразования круговой плос­кости, переводящие прямые и окружности снова в прямые и окруж­ности (или, другими словами, переводящие в себя совокупность всех окружностей ненулевого радиуса), уже не исчерпываются одними преобразованиями подобия — пример другого рода доставляет нам инверсия. Все такие преобразования называются круговыми преобра­зованиями1). Нетрудно видеть, что каждое круговое преобразова­ние круговой плоскости является или преобразованием подобия или инверсией, сопровождаемой еще, быть может, преобразова­нием подобия. Действительно, если круговое преобразование остав­ляет на месте «бесконечно удаленную точку» Q, то оно переводит прямые («окружности бесконечного радиуса» или «окружности, про­ходящие через бесконечно удаленную точку £Ъ) снова в прямые и окружности конечного радиуса — в окружности конечного радиуса, т. е. является преобразованием подобия. Рассмотрим теперь круговое преобразование К, которое переводит в Q какую-то «конечную» (т. е. обыкновенную) точку О плоскости. Это преобразование можно заменить инверсией I с центром О, сопровождаемой еще каким-то преобразованием П. (П переводит точку At, в которую переводит произвольную точку А инверсия I, в точку А', в которую переводит А преобразование К; если Л, всегда совпадает с А', то К совпадает с инверсией I и никакого дополнительного преобразования рассмат­ривать не нужно.) Очевидно, что П есть тоже круговое преобразо­вание: оно переводит окружность Sv в которую инверсия I переводит окружность S, в окружность S', в которую Л'переводит К. С другой стороны, П переводит прямые снова в прямые (ибо и К и I пере­водят в прямые проходящие через О окружности). Поэтому П есть преобразование подобия, что и доказывает наше утверждение (про­извольное круговое преобразование К совпадает с инверсией I, со­провождаемой преобразованием подобия II).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я