• 5

§ 5. Точечная геометрия окружностей

5.1. Круговая плоскость. То обстоятельство, что прямые и окруж­ности являются единственными линиями, изучаемыми в элементарной геометрии, заставляет ограничиться здесь рассмотрением лишь таких преобразований плоскости, которые переводят прямые и окружности снова в прямые и окружности. Однако ясно, что никакое (непрерыв­ное) преобразование плоскости, переводящее каждую ее точку А в другую точку Л', не может перевести замкнутую линию — окруж­ность— в незамкнутую линию—прямую; следовательно, такое преоб­разование должно переводить каждую прямую в прямую и каждую окружность в окружность *). Тем самым мы приходим к преобразо­

') См. также «Г. П.», стр. 93 и след.

2) Если бы такое преобразование переводило прямую s в окружность S, то оно должно было бы перевести прямую s,, пересекающую s в точке Л, в прямую или окружность S,, имеющую с S одну общую точку А', т. е. касающуюся 5 в точке Л'. Это, однако, невозможно, так как прямые s и s, разбивают плоскость на 4 части (такие, что никакие две точки, принадлежащие разным частям плоскости, нельзя соединить прямой или

ваниям подобия—-единственным преобразованиям плоскости, при ко­торых любая прямая снова переходит в прямую и каждая окружность переходит в окружность1),— и действительно эти преобразования суть единственные, систематически рассматриваемые в курсе элемен­тарной геометрии.

Сказанное выше не противоречит тому, что инверсия также пере­водит окружности и прямые снова в окружности и прямые: действи­тельно, инверсия не является преобразованием всей плоскости, поскольку она не переводит центр инверсии О ни в какую другую точку плоскости. С другой стороны, именно то обстоятельство, что совокупность окружностей и прямых переводится инверсией в сово­купность тех же линий, делает весьма желательным включение этого преобразования в число тех, с которыми оперирует элементар­ная геометрия. Однако для этого прежде всего желательно получить возможность говорить об инверсии как о преобразовании всей плос­кости, а не плоскости с одной выключенной точкой: ведь иначе нам придется считать, что инверсия переводит прямую в окружность без одной точки (ибо центр инверсии мы должны вообще исключить из рассмотрения), а если нам надо будет прэизвести подряд две или несколько инверсий, то положение осложнится еще больше.

Во(ход из создавшегося положения состоит в следующем. Усло­вимся говорить, что при инверсии центр О переходит в некоторую фиктивную «бесконечно удаленную точку» Q плоскости; обратно, эта «бесконечно удаленная точка» Q переходит в центр инверсии О (ср. стр. 57). Хотя эта терминология означает только, что инверсия не переводит О ни в какую реально существующую точку плоскости, она во многих случаях оказывается чрезвычайно удобной. Так как прямые при инверсии переходят в окружности, проходящие через центр инверсии О, то приходится считать, что все прямые плоскости проходят через «бесконечно удаленную точку»; это соглашение устраняет различие между прямыми и окружностями, так как прямую теперь также можно считать замкнутой — она «замыкается в беско­нечности»2). Плоскость, условно дополненная, таким образом, одной «бесконечно удаленной точкой», называется круговой плоскостью. Понятие круговой плоскости является математической абстракцией в такой же степени, как и понятие обычной (безграничной) плоскости; в современной математике (в частности, в теории функций комплекс­ного переменного) оно играет весьма важную роль.

окружностью, не пересекающей ни s, ни s,), а касающиеся окружности (или окружное™ и прямая) S и S, делят плоскость только на 3 части.

') См. «Г. П », стр. 62—63. По поводу последующего ср. также «Г. П.», стр. 57—59.

г) Это утверждение означает, что точка А, неограниченно удаляющаяся по прямой в любом ее направлении, стремится к «бесконечно удаленной точке» Q (в тоф1 смысле, что точка А', в которую переводит А инверсия с центром О, стремится к точке О).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я