• 5

4.3. Теорема Паскаля

. Преобразование инверсии находит многочислен­ные применения при доказательстве геометрических теорем. Часто удается так преобразовать при помощи инверсии чертеж какой-либо относящейся к окружностям геометрической теоремы, что некоторые из фигурирующих на этом чертеже окружностей переходят в прямые линии, и чертеж тем самым упрощается; если же доказать выражаемую преобразованным черте­жом новую, более простую теорему, то отсюда будет вытекать также и справедливость первоначальной теоремы. Упрощение чертежей с помощью

инверсии лежит также в основе многочисленных применений этого пре­образования к решению геометрических задач на построение. Отсылая читателя по этому поводу, например, к любой из первых четырех книг приведенного в конце статьи списка литературы1), мы ограничимся здесь одним простым, но эффектным примером несколько иного рода.

Докажем, что точки Р, Q и R пересечения противоположных сторон и А.,А5, АгА, и ASA6, A3At и АйА, произвольного (может быть, и само­пересекающегося!) вписанного в окружность S шести гольника AlAzA,AiA^A, лежат на одной прямой (теорема Паскаля).

Пусть S, — произвольная окружность, пересекающая S в точках А, и At, S2 — окружность, в которую переводит S, инверсия с центром Р и сте­пенью ft, — PA,-PAs = PAi-PAs (S2 проходит через точки Аг и Л3); S,— окружность, в которую переводит S2 инверсия с центром Q и степенью

') См. также «Г. П.», стр. 70—72, 145—146 и статью «Обшие принципы геометрических построений», стр. 193.

 

Рис. 20.

 

ft2 = Qv42-QJ43 = Q4s-(3^(, (S, проходит через точки А3 и Лв); S,—окруж­ность, в которую переводит S3 инверсия с центром R и степенью

= «Л, - ЯЛ, = Я Лс-RA, (S, снова проходит через точки А4 и Л,); наконец, обозначим еще касатель­ные к S в точках Л,, Л2, Л3 и Л4 через *„ t, и а касательные к S,, S2, S, и S, в тех же точ­ках— через ы„ u2, us и й, (рис. 21). Легко видеть, что при всех трех инверсиях окружность S перехо­дит сама в себя. В силу свой­ства Б инверсии имеем

 

Но равенство (<„ и,) = (н„ /4) показывает, что окружности S, и S,, пересекающие S в одних и J      4            тех же точках Л, и Л4, обра-

                        ^^         зуют в этих точках с окружно-

стью 5 одинаковые (по величине и по направлению!) углы, откуда I      следует, что эти окружности

рис 21.           просто совпадают. Таким обра­

зом, точки P. Q и У? суть центры инверсий, переводящих S, в S2, S2 в Ss и S, в S,, т. е. это суть центры подо­бия этих окружностей (см. доказательство свойства А инверсии). Но отсюда следует, что эти точки лежат на одной прямой (см. ниже стр. 489—490)').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я