• загрузка...
    5

4.2. Свойства инверсии

загрузка...

. Заметим прежде всего, что центр О не переходит при инверсии ни в какую точку плоскости. Так как, очевидно, чем ближе расположена точка А к точке О, тем дальше удален от О образ А' этой точки (причем если только А достаточно

•) См «Г. П.», стр. 56.

2) Можно также сказать, что инверсия с центром О и степенью —k совпадает с произведением инверсии с центром О и степенью k и симметрии относительно О, взятых в любом порядке (см. «Г. П.», стр. 80).

близка к О, то расстояние OA' превзойдет любое наперед заданное число), то говорят также, что образ центра О инверсии удаляется в бесконечность или что инверсия переводит точку О в бесконеч­ность; разумеется, эти выражения следует понимать лишь в том смысле, что сама точка О при инверсии не переходит никуда, а близкие к О точки переходят в далекие точки').

Заметим, что невырожденная инверсия «переставляет» между собой точки плоскости (т. е. если точка А переходит в точку А', то точка А' переходит обратно в точку А)2). Далее, инверсия с центром О и степенью k переводит внутренность окружности 2 с центром О и радиусом V\k\ во внешнюю область этой окруж­ности и наоборот (аналогично тому, как симметрия относительно прямой s меняет местами две полуплоскости, на которые s делит плоскость). Что же касается самой окружности 2, то инверсия пере­водит ее в себя; при этом в случае положительного k все точки окружности 2 переходят в себя (аналогично тому, как при симмет­рии относительно прямой 5 переходят в себя все точки этой пря­мой), в то время как в случае отрицательного k каждая точка окружности 2 переходит в диаметрально противоположную точку.

Отметим теперь два менее очевидных свойства инверсии.

А. Всякая невырожденная инверсия переводит каждую окруж­ность ненулевого радиуса снова в окружность ненулевого радиуса (т. е. каждую окружность или прямую снова в окружность или прямую).

Так как совершенно очевидно, что симметрия относительно пря­мой обладает этим свойством, то надо только доказать, что им обладает также и обыкновенная инверсия. Прежде всего совершенно ясно, что инверсия переводит каждую прямую, проходящую через центр инверсии, саму в себя. Далее, если М и М' суть точки пересечения проходящей через точку О прямой с окружностью S, имеющей диаметр ОР, и прямой 5, перпендикулярной ОР и пересе­кающей ОР в некоторой точке Р (рис. 19, а), то из подобия пря­моугольных треугольников ОРМ и ОМ'Р' с общим острым углом О имеем

ОР      ОЛГ

ОМ~ОР' '

откуда следует, что

ОМ-ОМ' = ОР-ОР'.

Последнее равенство показывает, что инверсия с центром О и сте­пенью k переводит проходящую через О окружность S в прямую s,

') Относительно другого понимания этого утверждения (связанного с присоединением к плоскости одной «несобственной» точки) см. стр. 58—59.

г) Другими словами, инверсия есть инволютчвное преобразование (см. «Г. П.», стр. 97).

перпендикулярную диаметру ОР окружности и пересекающую этот диаметр в такой точке Р', что OP-OP = k\ обратно, не проходящую через О прямую s инверсия переводит в проходящую через О окружность S, диаметром которой служит такой отре­зок ОР перпендикуляра ОР', опущенного из О на s, что OP-OP'=k.

Наконец, пусть 5 — произвольная окружность, не проходящая через центр О инверсии, и р — степень точки О относительно окружности 5, так что каждая проходящая через О прямая пересе кает 5 в таких двух точках Ж и Ж,, что ОМ-ОМ,= р. Пусть,

 

 

 

Рис. 19.

далее, S — окружность, центрально-подобная (гомотетичная) 5 с цент­ром подобия О и коэффициентом подобия1) ~, а Л11 и М'— точки

окружности S', отвечающие в рассматриваемом центрально-гоюбном преобразовании точкам Ж и Ж, окружности 5 (рис. 19,6). В таком случае имеем

ОМ-ОлГ=р, Шг- = - . 1         ОМ, Р

Отсюда следует, что

ОМ-ОМ' =k,

т. е. что инверсия с центром О и степенью k переводит не проходя­щую через О окружность S в окружность S', центрально-подобную (гомотетичную) S с центром подобия О и коэффициентом подо­бия —, где р есть степень точки О относительно окружности S

') См. «Г. П.», стр. 55.

(причем в центрально-подобном преобразовании точка М окружности S отвечает точке M't окружности S', а в инверсии точка М отвечает точке М').

Этим и завершается доказательство свойства А инверсии').

Б. Невырожденная инверсия сохраняет угол между окруж­ностями. Точнее, если tx1 t2 — касательные к двум окружностям ненулевого радиуса St и S2, пересекающимся в точке А, и t' — касательные к окружностям ненулевого радиуса Sj и Sв которые переводит St и невырожденная инверсия, проведенные в точке А', отвечающей при инверсии точке А, то

(обратите внимание на порядок касательных!).

Нам опять достаточно показать, что свойством Б обладает обыкно­венная инверсия. Из подобия треугольников ОРМ и ОМ'Р (рис. 19, а) -следует, что ^С(РО, РМ) = -§С (М'Р', М'О). Но &(РО, РМ) = = (МО, t), где t — касательная к 5 в точке М (оба угла изме­ряются половиной дуги МО); следовательно,

ЗС (МО, t) = Z£(s, М'О').

С другой стороны, окружности S и S' (рис. 19, б) образуют ■в точках М и М, равные углы (МО, t) и (Ж,О, t,) с прямой ОММ' (это следует из того, что О есть центр подобия окружностей S и S'; ср. ниже стр. 489). А так как, кроме того, <£ (М,0, <,) = = ^(t',M'0) (см. стр. 453), то имеем

Зс(Ж>, *) = •£(<', М'О).

Итак, мы доказали наше утверждение для того случая, когда одна из двух рассматриваемых окружностей ненулевого радиуса — это проходящая через О прямая. Пусть теперь и 6'2— две произвольные окружности ненулевого радиуса, пересекающиеся в точке А; 6', н52 — пересекающиеся в точке А' окружности, в которые переходят 6\ и S2 при инверсии. В таком случае имеем (рис. 20)

£ (/,, АО) = ЗС (А'О. (,), £ (АО, /,) = £ (1г, А'О),

откуда

= t\),

■что и требовалось доказать.

В частности, из свойства Б инверсии следует, что невырожденная инверсия переводит любые две касающиеся окружности в касаю­щиеся окружности.

') См. также «Г. П.», стр. 74—75.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я