• 5

§ 4. Инверсия

4.1. Определение инверсии. Рассмотрим некоторую фиксирован­ную связку окружностей и выберем все те окружности этой связки, ко­торые проходят через определенную точку А плоскости. Эти окружности принадлежат пересечению двух связок — выбранной связки и связки окружностей, проходящих через точку А; согласно сказанному выше (стр. 467) они образуют пучок окружностей (мы здесь исключаем из рассмотрения тот случай, когда первая связка имеет центр А и степень 0, и потому все ее окружности проходят через А). Оче­видно, что если первая связка есть связка всех прямых плоскости или если точка А совпадает с центром выбранной связки, то полу­ченный пучок есть пучок пересекающихся прямых; во всех осталь­ных случаях это есть пучок окружностей, пересекающихся в двух точках А и А', или пучок касающихся окружностей (так как все окружности пучка проходят через одну точку А, то мы не можем прийти к пучку непересекающихся или концентрических окружно­стей). Таким образом, выбор на плоскости определенной связки окружностей (отличной от связки всех прямых) позволяет опре­делить некоторое отображение плоскости, сопоставляющее с каж­дой отличной от центра О связки точкой А плоскости вторую точку А' пересечения окружностей связки, проходящих через точку А (если все эти окружности касаются в точке А, то мы будем считать, что наше отображение переводит точку А саму в себя)'). Это отображение мы будем называть точечной инверсией или просто инверсией, отвечающей нашей связке. При этом инвер­сия, отвечающая связке окружностей с центрами на прямой s и перпендикулярных s прямых, называется особой; инверсия, отвечаю­щая связке пересекающихся в одной точке окружностей, —вырож­денной; во всех же остальных случаях мы имеем обыкновенную

') Относительно геометрических отображений см. статью «Геометри ческие преобразования» (^последствии эту статью мы будем цитировать как «Г- П.»), стр. 51.

или общую инверсию, причем центр О связки называется центром этой инверсии, а степень k связки — степенью инверсии.

Очевидно, что вырожденная инверсия переводит любую (отлич­ную от центра О связки) точку плоскости в одну и ту же точку О (ибо в этом случае совокупность окружностей связки, проходящих через фиксированную точку А, образует пучок окружностей, пере­секающихся в точках А и О) — это преобразование, разумеется, не представляет интереса. Далее, особая инверсия представляет со­бой симметрию относительно прямой s—в самом деле, все окруж­ности с центром на прямой s, проходящие через определенную точку А (а также и перпендикуляр к s, проходящий через А),

проходят также и через точку А', симметричную А относительно 5 (рис. 17)'). Таким образом, главный интерес представляет обыкно­венная или общая инверсия, которую мы в дальнейшем для крат­кости часто будем называть просто «инверсией»; в тех случаях, когда речь будет идти сразу об обыкновенной и об особой инверсии, мы будем говорить про невырожденную инверсию.

Из данного выше описания собственных связок окружностей выте­кает, что обыкновенную инверсию с положительной степенью а1 можно определить как отображение, сопоставляющее с каждой точкой А плоскости; отличной от определенной точки О, вторую точку А' пересечения всех окружностей, проходящих через точку А и перпендикулярных окружности 2 с центром О и радиусом а (рис. 18, а); окружность 2, задание которой полностью определяет инверсию, называется окружностью инверсии. Если считать, что

 

Рис. 17.

') См. «Г. П.», стр. 55.

 

 

 

Рис. 18.

окружность 2 может вырождаться в прямую («окружность бесконеч­ного радиуса»), то последнее определение охватывает также и осо­бую инверсию—симметрию относительно прямой (рис. 17). Эта близость между инверсией с положительной степенью и симметрией относительно прямой находит отражение в том, что инверсию с положительной степенью часто называют «симметрией относительно окружности 2». [Если принять, что окружность инверсии может также вырождаться в точку (окружность нулевого радиуса), то наше определение охватит также и вырожденную инверсию.] Аналогично этому инверсию с отрицательной степенью—а1 можно определить как преобразование, сопоставляющее с каждой точкой А, отличной cm точки О, вторую точку пересечения всех окружностей, про­ходящих через А и делящих пополам окружность 2 с центром О и радиусом а (рис. 18,6).

Можно также определить инверсию чисто аналитически. Из того, что центр О собственной связки имеет относительно всех окружно­стей связки степень k, следует, что каждая окружность связки, проходящая через определенную (отличную от О) точку А, пересекает прямую OA второй раз в такой точке А', что ОА-ОА' Отсюда видно, что инверсию с центром О и степенью k можно определить как геометрическое преобразование, переводящее каждую отличную от О точку А плоскости в такую точку А' прямой OA, что

OA-OA'= k.

Это последнее определение инверсии в силу своей простоты явля­ется наиболее распространенным"); мы в дальнейшем также чаще всего будем пользоваться именно им. В частности, из этого опре­деления вытекает, что две инверсии с одним центром О и равными по абсолютной величине степенями k и — k переводят одну и ту же точку А в две точки А' и А" прямой OA, удаленные на одно рассто- I k I

яние ^ от центра инверсии О, но расположенные по разные сто­роны от него; другими словами можно сказать, что инверсия с отри­цательной степенью — k равносильна инверсии с тем же центром О и положительной степенью k, сопровождаемой еще симметрией относительно точки О2).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я