• 5

3.2. Связка окружностей

. Определим теперь (собственную) связку окружностей как совокупность всех окружностей конеч­ного радиуса, каждые три из которых имеют один и тот же радикальный центр О (называемый радикальным центром связки), и всех окружностей бесконечного радиуса (прямых), проходящих через точку О. Из этого определения следует, что степень точки О относительно любых трех окружностей конечного радиуса связки

') Если S, и S2 суть две прямые, то мы приходим к пучку концентри­ческих окружностей или параллельных прямых; если 5, и S2 суть кон­центрические окружности — к пучку пересекающихся прямых; во всех остальных случаях — к собственному пучку окружностей.

Заметим еще, что пучок пересекающихся окружностей можно также определить как совокупность всех окружностей, делящих пополам две данные различные окружности S, и S2.

будет одной и той же; отсюда вытекает, что радикальный центр О собственной связки окружностей имеет одну и ту же степень относи­тельно всех окружностей связки. Таким образом, собственную связку окружностей можно определить также как совокупность всех окруж­ностей плоскости, относительно которых данная точка О имеет одну и ту же степень k, и всех прямых, проходящих через О; точку О иногда называют просто центром связки, а степень k — степенью связки.

Если при этом k = аг > 0, то длина касательной, проведенной из точки О к любой из окружностей конечного радиуса связки, рав­на а; отсюда вытекает, что связка состоит из всех окружностей, перпендикулярных фиксированной окружности 2 с центром О и радиусом а (включая сюда и точки окружности 2 — окружности ну­левого радиуса связки, и проходящие через О прямые—окружности бесконечного радиуса связки). Если ft = 0, то связка, очевидно, со­стоит из всех окружностей (конечного или бесконечного радиуса), проходящих через точку О; такая связка содержит единственную окружность нулевого радиуса — саму точку О. Наконец, .если к =—а2<0, то связка состоит из всех окружностей, делящих пополам окружность 2 с центром О и радиусом а (ср. стр. 458—459), включая сюда и проходящие через О прямые; такая связка вовсе не содержит окружностей нулевого радиуса, т. е. точек").

Кроме собственных связок, к числу связок окружностей причисляют еще связки всех окружностей, центры 'которых лежат на фик­сированной прямой s, а также прямых, перпендикулярных s (связки окружностей, перпендикулярных «окружности бесконеч­ного радиусаъ, т. е. прямой s) и связку всех «окружностей бес­конечного радиуса» (прямых) плоскости.

В заключение заметим, что пересечение двух любых различных связок (т. е. совокупность окружностей, принадлежащих одновре­менно двум связкам) всегда образует пучок. Действительно, пере­сечение двух связок, одна из которых есть связка прямых, образует пучок пересекающихся или параллельных прямых; пересечение двух связок окружностей, перпендикулярных соответственно прямым s, и s2, образует пучок концентрических окружностей, если s^Sj, и пучок параллельных прямых, если s, || s2; пересечение двух собствен­ных связок окружностей с общим центром и разными степенями образует пучок пересекающихся прямых. Наконец, во всех осталь­ных случаях пересечение двух связок окружностей образует соб­ственный пучок: если одна из двух связок состоит из окружностей, перпендикулярных прямой s, а вторая есть собственная связка с цент­ром О, то пересечение их образует собственный пучок, радикальной

') Собственная связка первого типа называется гиперболической, вто­рого— параболической и третьего—эллиптической. ас*

осью которого служит перпендикуляр, опущенный из О на s (это вытекает из того, что центры всех окружностей конечного радиуса, принадлежащих пересечению связок, лежат на а, и что точка О имеет равные степени относительно каждых двух из этих окружно­стей); пересечение же двух собственных связок с разными центрами О, и 02 образует пучок с радикальной осью 0,02 (для доказатель­ства достаточно заметить, что, поскольку обе точки О, и 02 имеют одинаковые степени относительно любых двух окружностей конечного радиуса, одновременно принадлежащих обеим связкам, то радикаль­ной осью этих двух окружностей является прямая 0,02).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я