• 5

§ 3. Пучки и связки окружностей

3.1. Пучок окружностей. В аналитической геометрии пучком прямых называют совокупность всех прямых плоскости, проходящих через фиксированную точку (рис. 13,а), или совокупность всех па­раллельных между собой прямых (рис. 13,6)'). Так как мы услови­лись рассматривать прямые как «окружности», то мы будем считать, *

а)         6)         В)

Рис. 13.

«

что рис. 13,а,б определяют пучки окружностей бесконечного радиу­са. Однако больший интерес будут представлять для нас пучки окруж­ностей конечного радиуса. Под таким пучком мы будем понимать совокупность всех конценфических окружностей («несобственный»

 

') Ср. стр. 113.

пучок; рис. 13,в) или совокупность всех окружностей, каждые две из которых имеют одну и ту же радикальную ось о («собст­венный» пучок). Прямую о, называемую радикальной осью (собствен­ного) пучка, мы условимся также включать в состав пучка; таким образом, каждый пучок, отличный от пучка концентрических окруж­ностей, содержит хотя бы одну «окружность бесконечного радиуса» (т. е. прямую). Очевидно, что каждый собственный пучок образует­ся прямой о, какой-либо окружностью S0 и всеми такими окруж­ностями S, что о есть радикальная ось окружностей Sa и S (из сказанного на стр. 461 вытекает, что прямая о явится также ра­дикальной осью каждых двух из наших окружностей).

Если какая-либо окружность SB собственного пучка пересекает радикальную ось о в точках А и В (рис. 14,а), то любая другая окружность 5 пучка должна проходить через те же точки А и В (ибо о есть радикальная ось окружностей 50 и S)\ обратно, если 5 проходит через точки А и В, то о есть радикальная ось окружно­стей S0 и S, и следовательно, 5 принадлежит пучку. Таким образом, в рассматриваемом случае пучок состоит из всех окружностей, про­ходящих через две фиксированные точки А к В. Такой пучок на­зывается пучком пересекающихся окружностей. Заметим еще, что пучок пересекающихся окружностей вовсе не содержит окружностей нулевого радиуса, т. е. точек.

Предположим теперь, что окружность 50 пучка касается ради­кальной оси о в точке А (рис. 14,6). В этом случае любая другая окружность 5 пучка должна также касаться о в той же точке А, ибо о есть радикальная ось окружностей SB и 5. Обратно, если S касается прямой о в точке А, то радикальная ось окружностей £0 и 5 совпадает с о. Таким образом, в этом случае пучок состоит из всех окружностей, касающихся прямой о в данной точке А; такой пучок называется пучком касающихся окружностей. Пучок касаю­щихся окружностей включает одну окружность нулевого радиуса, а именно точку А: действительно, радикальная ось этой точки и любой из окружностей пучка совпадает с о. [Заметим, что пучок концентрических окружностей также содержит одну окружность нулевого радиуса—общий центр всех окружностей пучка.]

Наконец, если окружность SB пучка не пересекает радикальной оси о (рис. 14,в), то никакая окружность 5 пучка не может пере­секать о, так как иначе радикальная ось окружностей St и 5 не сов­падала бы с о. Далее, никакие две окружности пучка не могут пе­ресечься, ибо в противном случае радикальная ось этих окружностей — их общая хорда—отличалась бы от о. Такой пучок называется пучком непересекающихся окружностей *).

') В литературе перечисленные три типа пучков (изображенные на рис. 14, а—в) обыкновенно называются эллиптическим пучком, параболиче­ским пучком и гиперболическим пучком.

пучки и связки окружностей        463

Очевидно что во всех случаях центру всех окружностей собст­венного пучка лежат на одной прямой—на перпендикуляре z, опу­щенном из центра какой-либо окружности пучка на радикальную

 

ось о; эта прямая z называется линией центров пучка. Заметим еще, что во всех случаях через каждую точку М плоскости про­ходит хотя бы одна окружность пучка. Это совершенно очевид­но для обоих типов «пучков окружностей бесконечного радиуса»,

т. е. для пучков прямых, и для пучков концентрических, пере­секающихся или касающихся окружностей. Покажем, что так же будет обстоять дело и в случае пучка непересекающихся окружно­стей. Прежде всего, ясно, что через каждую точку N линии цент­ров z проходит окружность пучка: диаметр NN' этой окруж­ности определяется равенством ON-ON' = ОР-ОР', где О и Р, Р' — точки пересечения линии центров z с радикальной осью и с какой- либо окружностью Л', пучка (рис. 14,в). В частности, если точка N

такова, что ON2 = ОР- ОР', то N' совпадает с N, и потому 5 явится окружностью нулевого радиуса, т. е. точкой; таким образом, каждый пучок непересекающихся окружностей содержит две точки N и Л/, (называемые предельными точками пучка), расположенные на

прямой z на одинаковом расстоянии V ОР-ОР' от точки О по раз­ные стороны от нее. Далее, если точка Л1 не принадлежит линии центров z, то радикальная ось о, точки М и какой-то окружности нучка не параллельна о и, значит, пересекает о в некоторой точке Q, имеющей равные степени относительно окружности нулевого радиуса М и окружности SB. Построим теперь окружность 5 с центром па ли­нии центров z, касающуюся прямой QM в точке М (центром такой окружности служит точка пересечения прямой z с перпендикуляром, восставленным к QM в точке М). Очевидно, что точка Q будет иметь равные степени относительно S и S0, т. е. будет принадлежать радикальной оси этих двух окружностей. Отсюда вытекает, что о — радикальная ось окружностей 5 и S0; следовательно, 5 и есть окруж­ность пучка, проходящая через точку М.

Заметим еще, что, поскольку каждая точка Q радикальной оси о собственного пучка окружностей, лежащая вне окружностей пучка (т. е. отличная от точки А в случае пучка касающихся окружно­стей и не принадлежащая отрезку АВ в случае пучка пересекаю­щихся окружностей; см. рис. 14, а,б), имеет одинаковую положитель­ную степень а2 относительно всех окружностей пучка, то Q яв­ляется центром окружности 2, перпендикулярной всем окружностям пучка (радиус этой окружности равен а). Таким образом, суще­ствует бесчисленное множество окружностей, одновременно пер­пендикулярных всем окружностям пучка. Нетрудно видеть, что все эти окружности в свою очередь будут образовывать пучок-. действительно, радикальная ось двух таких окружностей совпадает с линией центров z исходного пучка, поскольку z есть множе­ство центров окружностей, перпендикулярных этим двум (ср. вы­ше, стр. 4о8). Сама прямая z тоже входит в этот новый пучок, поскольку это есть окружность бесконечного радиуса, перпендику­лярная всем окружностям нашего пучка. Два пучка окружностей, обладающих тем свойством, что каждая из окружностей первого пучка перпендикулярна всем окружностям второго пучка и, наобо­

рот, называются перпендикулярными или сопряженными пучками. Нетрудно видеть, что пучку непересекающихся окружностей будет пер­пендикулярен пучок пересекающихся окружностей (ибо все окружности

 

 

 

второго пучка должны проходить через предельные точки первого пучка) н наоборот (рис. 15,а); пучку касающихся окружностей будет перпендикулярен другой пучок касающихся окружностей (рис. 15,5).

30 Энциклопедия, кн. 4

Понятие перпендикулярных пучков можно перенести также и на пучки прямых или концентрических окружностей: очевидно, что все окружности, перпендикулярные «окружностям бесконечного радиуса», составляющим пучок пересекающихся прямых, образуют пучок концентрических окружностей и, наоборот (рис. 16,а), все окруж­ности, перпендикулярные «окружностям бесконечного радиуса», со­ставляющим пучок параллельных прямых, образуют второй пучок параллельных прямых (рис. 16,6). Это обстоятельство позволяет дать следующее общее определение всем пучкам окружностей (конечного

 

или бесконечного радиуса): пучок окружностей — это совокупность всех окружностей плоскости, перпендикулярных двум данным различным окружностям и S2').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я