• загрузка...
    5

2.3. Радикальный центр трех окружностей

загрузка...

. Рассмотрим теперь три окружности Sv S2 и 53, никакие две из которых не концентричны.

 

 

 

Если центры О,, О, и О, этих окружностей не лежат на одной пря­мой (рис. 11), то радикальные оси о,г и о,, окружностей ST и St, S, и S, не параллельны (ибо эти прямые перпендикулярны соответственно пря­мым 0,0S и 0,0,); пусть О — точка пересечения этих радикальных осей.

Так как точка О принадлежит радикальной оси ом, то она имеет одина­ковые степени относительно и St; так как точка О принадлежит также оси о„, то она имеет одинаковые степени относительно 5 и Но отсюда вытекает, что О имеет одинаковые степени отно­сительно «Ss и St, т. е. что О принадлежит также радикальной оси огг окружностей St и 5,. Итак, мы видим, что попарные ради­кальные оси трех окружностей конечного радиуса Sv St и S2, центры которых не лежат на одной прямой, пересекаются в одной точке О. Эта точка называется радикальным центром трех окружностей. Поскольку радикальный центр имеет одну и ту же степень относительно каждой из окружностей Sx, S2, S2, то либо

он лежит внутри всех трех окружностей, либо принад­лежит каждой из них, либо, наконец, расположен вне всех трех окружностей.

Из теоремы о радикаль­ном центре вытекает, в ча­стности, простое построение радикальной оси о двух не­пересекающихся окружно­стях и 5, (радикальная ось пересекающихся окруж­ностей совпадает с прямой, на которой лежит их общая хорда). Проведем произволь­ную окружность S, центр ко­торой не лежит на линии центров окружностей и и которая пересекает как 5,, таки5а (рис. 12). Радикальная ось о, окружностей 5 и 5, совпадает с их общей хордой; радикальная ось о, окружностей S и St также совпадает с общей хордой этих окружностей. Точка О пересечения прямых о, и о, является радикальным центром окружностей S , S2 и 5 и, следовательно, принадлежит также искомой радикальной оси окружностей St и St. Таким образом, ось о совпадает с перпенди­куляром, опущенным из точки О на линию центров (можно также с помощью иной окружности S' найти еще одну точку О' искомой радикальной оси).

Очевидно, ч*го если радикальный центр трех окружностей S , S2 и 5, лежит вне этих окружностей, то он является цент­ром единственной окружности 2, перпендикулярной ко всем трем данным (рис. 11,а,б). Если радикальный центр О лежит внутри данных окружностей, то он является центром единст­венной окружности 2, делящейся пополам всеми данными окруж-

 

костями (рис. 11,в). Если центры трех данных окружностей все лежат на одной прямой, то единственной «окружностью», перпенди­кулярной трем данным, является их общая линия центров—«окруж­ность бесконечного радиуса»; «окружности», делящейся пополам всеми тремя данными окружностями, в этом случае не существует.

Если центры трех окружностей 5,, 5, и лежат на одной пря­мой, то их попарные радикальные оси о„ и о2, все перпенди­кулярны общей линии центров и, следовательно, параллельны между собой; таким образом, три окружности, центры которых лежат на одной прямой, не имеют радикального центра. В частном слу­чае может оказаться, что прямые о12 и о]9 совпадут между собой; тогда каждая точка этой прямой о будет иметь одина­ковые степени относительно 5, и S8 и относительно и St. Отсюда вытекает, что каждая точка прямой о будет иметь одинаковые сте­пени и относительно окружностей S2 и 5,, т. е. она совпадает также с радикальной осью o2S окружностей S2 и 5,. Этот случай, когда попарные радикальные оси нескольких окружностей все совпа­дают между собой, представляет по ряду причин особый интерес; мы его рассмотрим подробнее в следующем параграфе.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я