• 5

2.2. Радикальная ось двух окружностей

. С введением понятия степени точки относительно окружности возникает вопрос об отыска­нии целого ряда множеств точек, например множества всех точек, имеющих относительно данной окружности постоянную степень (это будет окружность, концентрическая с данной). Из таких множеств точек особую роль в геометрии играет множество всех точек, имеющих равные степени относительно двух окружностей S, и Sz. Это множество точек называется радикальной осью окружностей

Докажем, что радикальной осью двух не концентрических окруж­ностей и St конечного радиуса является прямая линия о, перпендикулярная линии центров этих окружностей; радикальной оси двух концентрических (не совпадающих) окружностей вовсе не существует.

Действительно, если точка М принадлежит радикальной оси двух окружностей и St с центрами О, и О, и радиусами г, и гг (рис. 8), то в силу сказанного выше должно быть

Прежде всего, ясно, что это равенство невозможно, если г^фгх и точки О, и 02 совпадают,—отсюда вытекает наше утверждение касающееся концентрических окружностей.

Предположим теперь, что точки О, и О, не совпадают; пусть, например, Ofit= I ф 0. Покажем, что на прямой 0,0, имеется ровно одна точка Р, принадлежащая радикальной оси. В самом деле, пусть Р—произвольная точка прямой 0,0г и х — ее расстояние от О,, которое мы будем считать положительным, если Р и О

 

О, Ж2 ~r\= Os/W2 — г2.

 

 

расположены по одну сторону от точки О,, и отрицательным в против­ном случае. Тогда 0,Р= |х|, ОгР=\х — и потому соотношение (*) принимает вид

х1 — г\= (х—/)* — г\.

Это соотношение представляет собой линейное уравнение относи­тельно неизвестного xv имеющее единственный корень:

Заметим теперь, что точка М в том и только в том случае принадлежит радикальной оси, если ее проекция Р на прямую 0,0,

I о

 

Рис. 8.

также принадлежит радикальной оси Это вытекает из очевидного соотношения

0,.4f — О,Ж2 = 0,Р2 — 02/j2

(см. рис. 8) и соотношения (*). Из этого и следует, что радикаль­ная ось (двух неконцентрических окружностей) представляет собой прямую, перпендикулярную к линии центров 0,02.

Можно предложить также следующий «векторный» вывод теоремы о радикальной оси. Соотношение (*) можно переписать в виде

*2—/■? = (*—/)1—г®,

где х=0,М\ 1 — 0,02. Раскрывая скобки в этом соотношении, получаем

2 xl=P + r\—t\.

В силу определения скалярного произведения') это соотношение озна чает что

пр, х =

 

21

откуда и вытекает иаше утверждение.

Различные случаи расположения радикальной оси двух окружно­стей изображены на рис. 8,а — г; анализ этих случаев легко провести, основываясь на формуле (*). Здесь мы отметим только, что если окружности и St пересекаются, то точки их пересечения, очевидно, принадлежат радикальной оси (ибо эти точки имеют относительно обеих окружностей одинаковую сте­пень, равную нулю) и, следова­тельно, радикальная ось пересекаю­щихся окружностей совпадает с пря­мой, на которой расположена их об­щая хорда (рис. 8, б); если окруж­ности и St касаются, то по ана­логичной причине радикальная ось проходит через точку касания и, следовательно, совпадает с общей касательной (рис. 8, в).

Мы знаем, что если точка М лежит вне окружности 5, то ее

степень относительно 5 равна квадрату касательной, проведенной из М к 5. Отсюда вытекает, что радикальная ось двух непересека­ющихся окружностей и часть радикальной оси пересекающихся окружностей, внешняя по отношению к этим окружностям, совпадает с множеством всех таких точек М. что касательные, проведенные из М к обеим окружностям, равны (рис. 9). Это утверждение можно сформулировать еще и по-другому. Пусть окруж­ность 2 имеет центр в точке М радикальной оси двух окружностей

 

 

0

 

 

'х )

А

 

X /

V /

N /

/К/ 1 ^

/7 \

Х^! V

1 , I

V \

] 0г J

Рис. 9.

') См. стр. 328.

S1 и St и радиус ее равен общей длине касательных МАХ и MAt, проведенных из М к 5, и к S, (рис. 9). Так как радиус этой окруж­ности, проведенный в точку А, (соответственно пересечения ее с (с S,), является касательной к (к 5г) и, следовательно, пер­пендикулярен радиусу окружности St (окружности St), проведенному в ту же точку, то окружность X будет перпендикулярна окруж­ностям 5, и St. Обратно, если М есть центр окружности 2, перпен­дикулярной к St и то касательные, проведенные из М к St и к St, будут равны. Таким образом, радикальная ось непересекающихся окружностей и часть радикальной оси пересекающихся окружно­стей, внешняя по отношению к этим окружностям, совпадают с множеством центров окружностей, перпендикулярных к двум данным.

 

Заметим еще, что часть радикальной оси двух пересекающихся окружностей, внутреннюю по отношению к этим окружностям, также можно определить геометрически независимо от понятия степени точки относительно окружности. Условимся говорить, что окруж­ность S делит окружность 2 пополам (или что 2 делится ок­ружностью S пополам), если 5 пересекает окружность 2 в ее диаметрально противоположных точках (рис. 10,а). Из рис. 10,а видно, что центр М окружности 2, делящейся окружностью 5 пополам, расположен внутри S, а ее радиус равен половине хорды окружности 5, проведенной через точку М перпендикулярно диаметру ОМ этой окружности, т. е. что квадрат радиуса окружности 2 по абсолютной величине равен степени точки М относительно окружности S (см. стр. 454). Отсюда вытекает, что часть радикальной оси двух пере­секающихся окружностей и St, внутренняя по отношению к этим окружностям, совпадает с множеством центров окруж­

ностей, делящихся пополам и окружностью 5,, и окружностью St (рис. 10,6).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я