• 5

§ 8. Независимость аксиом

8.1. Независимость системы аксиом. Открытие Лобачевского, приведшее к развитию аксиоматического метода, непосредственно связано с вопросом о независимости аксиом. Некоторая аксиома считается независимой от остальных аксиом некоторой аксиоматики, если ее нельзя доказать, как теорему, исходя из остальных аксиом.

При аксиоматическом построении любой математической теории естественно стремиться к тому, чтобы среди аксиом не было «лиш­них», т. е. таких, которые могут быть выведены, как теоремы, из остальных аксиом. Исторически одним из первых проявлений этого стремления явилось исключение четвертого постулата Евклида (о равенстве всех прямых углов, см. стр. 15) из числа аксиом. По­следовательное проведение этой точки зрения приводит в конце концов к построению «минимальной» аксиоматики, т. е. такой, что каждая из ее аксиом не зависит от остальных. Следует, однако, иметь в виду, что требование независимости аксиоматики, совершенно естественное логически и эстетически, совсем не играет сколько-ни­будь существенной роли. Более того, с точки зрения удобства изло­жения аксиоматической теории часто бывает удобно принять за основу заведомо избыточную аксиоматику, позволяющую проще и быстрее получать необходимые следствия.

Для доказательства независимости какой-нибудь аксиомы от остальных достаточно построить новую систему аксиом, отличаю­

щуюся от старой только заменой этой аксиомы на противоположную, и доказать непротиворечивость полученной системы; непротиворечи­вость системы аксиом, как всегда, доказывается с помощью построе­ния модели, в которой выполняются все аксиомы системы. Так, например, аксиоматика группы (аксиомы 1° и 2° на стр. 27) является независимой. Моделью, в которой выполняется аксиома 1°, но не выполняется аксиома 2°, может служить, например, множество всех целых чисел с обычной операцией умножения: уравнение тх = п, где т и п—целые числа, не всегда имеет целочисленное решение. Модель, в которой выполняется аксиома 2°, но не выпол­няется аксиома 1°, можно построить, например, из трех элементов a, h, с со следующей «таблицей умножения»:

aa = bb= сс = a, ab = be = са = b, ас = ba = cb = c

Легко проверить, что в этой модели аксиома 2° действительно вы­полняется; например, уравнения

ах = /),            у а — b

имеют решения х=*Ь, у = с. В то            же время аксиома 1° не выпол­няется:

(bb) b = ab = b,          b (bb) = ba = с.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я