• 5

§ 2. Радикальная ось и радикальный центр

2.1. Степень точки относительно окружности. Вспомним сле­дующую теорему, хорошо известную из школьного курса гео­метрии:

Если через точку М провести несколько прямых, пересекающих (собственную) окружность S, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения каждой из этих прямых с окруж­ностью (произведение МА - MB на рис. 7, а, б) будет одним и тем же для всех этих прямых.

Эта теорема справедлива как для того случая, когда точка М лежит вне окружности 5 (рис. 7, а; в этом случае произведение МА-MB равно квадрату длины касательной, проведенной к окруж­ности 5 из точки М), так и для того случая, когда М лежит внутри 5 (рис. 7,6; в этом случае МА-MB равно квадрату половины хорды, проведенной через точку М перпендикулярно диаметру ОМ окруж­ности). Если точка М лежит на окружности 5 (рис. 7, в), то один из двух отрезков МА, MB равен нулю; таким образом, и в этом случае произведение МА-МВ не зависит от выбора прямой — оно равно нулю для всякой прямой. Наконец, если под 5 понимать «окруж­ность нулевого радиуса», т. е. точку (рис. 7, г), то «пересекающая S-»

прямая, проходящая через не совпадающую с 5 точку М, будет только одна (и для этой прямой обе точки А и В придется отождествить с точкой S), так что можно считать, что и в этом предельном слу­чае наша теорема сохраняет силу.

Заметим еще, что теорема сохраняет силу и в том случае, если говорить о произведении направленных отрезков МА • ЛШ(см. § !)'• если точка М лежит вне S, то произведение МА • MB всегда будет положительным, а в противном случае — всегда отрицательным. Таким образом, и абсолютная величина, и знак произведения МА ■ MB зави­сят лишь от положения точки М и окружности (конечного радиуса) S, но не от выбора проходящей через М прямой. Это произведение назы­вается степенью точки М относительно окружности S. Из рис. 7, а-—г нетрудно вывести, что степень точки М относи­тельно окружности S конечного радиуса г во всех случаях равна d* — г1, где d—расстояние ОМ от точки М до центра О окруж­ности. Для того чтобы это доказать, достаточно принять за пря­мую МАВ проходящую через центр окружности S прямую МА0ВС.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я