• 5

1.2. Разные определения окружности; касание окружностей

Основным предметом изучения в этой статье будут являться окруж­ности. Окружность—это множество всех точек плоскости, уда­ленных на одно и то же расстояние г от фиксированной точки О; точка О называется центром окружности, а отрезок г — ее padifycoM. В предельном случае можно также считать, что расстояние г — ра­диус окружности — равно нулю; в этом случае «окружность» будет представлять собой одну точку О. В дальнейшем нам часто будет удобно рассматривать также и точки как окружности, принимая их за «окружности нулевого радиуса»; в таком случае обыкновенные окруж­ности мы будем называть «собственными окружностями». Точки («окружности нулевого радиуса») и «собственные окружности» вместе мы будем называть «окружностями конечного радиуса».

29*

 

Данное выше определение окружности не является единственно возможным. Весьма часто оказывается полезным определение окруж­ности как множества всех таких точек М, из которых данный отрезок АВ виден под постоянным (направленным!) углом а, или,

 

Рис. 3-

короче, таких точек М, что (МА, ЛШ) = а(рис. 3, а). При задан­ном отрезке АВ радиус рассматриваемой окружности, естественно,

зависит от величины угла а ^из тригонометрии известно, что он

АВ \

равен абсолютной величине отношения ^ПГа] ' ЭТ0Т РадиУс будет

тем больше, чем меньше (по абсолютной величине) угол а. Если принять а= 0, то мы придем к прямой линии (рис. 3, б), которая, таким образом, тоже подходит под наше определение и которую

S0

ч          s>

О

 

 

 

S,

в)

6)         В)

Рис. 4.

г)

3)

поэтому можно считать предельным случаем окружности. В даль­нейшем нам часто будет удобно причислять прямые линии к числу окружностей. Ясно, что для таких «окружностей» понятие центра и радиуса теряет смысл. Мы будем называть прямые «окружностями бесконечного радиуса»; совокупность обыкновенных окружностей и пря­мых— «окружностями ненулевого радиуса»; наконец, под словом просто «окружности» мы будем часто понимать как обыкновенные окружности, так и точки («окружности нулевого радиуса») и прямые («окружно­сти бесконечного радиуса»). Целесообразность этих довольно гро­моздких соглашений выяснится в ходе дальнейшего изложения.

Понятие касания двух собственных окружностей или собственной окружности и прямой имеет совершенно ясный смысл (рис. 4, а, б). В дальнейшем нам будет удобно называть «окружность нулевого радиуса» 50 и «окружность ненулевого радиуса» St касающимися, если точка SB лежит на окружности или прямой (рис. 4, в, г)', наконец, две «окружности бесконечного радиуса» S0 и St мы будем называть касающимися, если прямые S0 и параллельны (рис. 4, д). Далее под угло\' ^ между двумя окружностями ненулевого радиуса SQ и 5,, пересекающимися в точке М, мы будем называть угол между касательными к S0 и в этой точке (рис. 5, а, б; под «каса-         ")

тельной к прямой» здесь пони-  Рис. 5.

мается сама эта прямая). При

этом рассматриваемый угол можно считать ненаправленным или напра­вленным; заметим только, что направленные углы между 50 и 5, в двух точках пересечения М и N имеют разные знаки (см. тот же рис. 5, а, б). Особую роль у нас будут играть перпендикулярные (или орто­гональные) окружности, т. е. окружности, образующие в точке пере­сечения прямой угол; очевидно, что радиус каждой из двух таких

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

собственных окружностей, проведенный в точку пересечения, касается второй окружности (рис. 6,а) и что прямая перпендикулярная собственной окружности Sv совпадает с ее диаметром (рис. 6, б). Нам будет удобно еще считать, что «окружность нулевого радиу­са» S0 перпендикулярна «окружности ненулевого радиуса» Sv если точка S0 лежит на окружности или прямой (рис. 6, в). Таким образом, утверждения «окружность нулевого радиуса S0 касается окружности ненулевого радиуса 5,» и «50 перпендикулярна 5,» имеют одинаковый смысл. Это обстоятельство не должно нас удивлять: ведь за «касательную к окружности нулевого радиуса 5С» можно

принять любую прямую, проходящую через точку    поэтому

если точка S0 лежит на окружности или прямой Sv то углу между S и можно приписать любое значение, в частности можно считать,

что этот угол равен 0 (т. е. что S0 и St касаются) или что он равен ~

(т. е. что St и перпендикулярны).

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я