• 5

А. ОКРУЖНОСТЬ КАК СОВОКУПНОСТЬ ТОЧЕК § 1. Обобщение понятия окружности

1.1. Направленные отрезки и углы. В этой статье значитель­ную роль будут играть направленные отрезки и. углы. Если на прямой задать какое-либо направление (оно указывается обычно стрел­кой), то каждому отрезку этой прямой, кроме абсолютной величины (длины), можно будет приписать также определенный знак: так на рис. 1 ,а отрезок АВ положителен, а отрезок CD отрицателен. В дальнейшем направленные отрезки мы будем обозначать черточкой,

поставленной над обозначением

^          Д У ^   j отрезка; так АВ будет обозна­чать обыкновенный (ненаправ- а) ленный) отрезок, а АВ — напра­вленный отрезок, т. е. отре­зок, взятый с определенным знаком; таким образом, отрезки АВ и ВА не отличаются, но АВ = — В А. При этом следует иметь в виду, что, говоря о произведении (или отношении) двух отрезков одной прямой, мы можем считать эти отрезки направленными, не выбирая за- рнс j ранее никакого направления на самой прямой: если АВ и CD — два отрезка одной прямой, то независимо от выбора

направления на прямой произведение AB-CD (и отношение

будет положительным, если направления отрезков АВ и CD (от А к В и от С к D) совпадают, и отрицательным, если эти направления различны (как на рис. l.c)1).

Аналогично этому, если выбрать какое-либо направление враще­ния (определяемое стрелкой, поставленной на некоторой окружности), то углу между прямыми (ненаправленными!), кроме абсолютной вели­чины, можно будет приписать также и знак: угол между а и b счи­тается положительным, если направление вращения от прямой а к прямой b совпадает с выбранным направлением, и отрицательным в противном случае (так иа рис. 1,6 угол между прямыми а и b положителен, а угол между с и d отрицателен). В дальнейшем обык­новенный угол мы будем обозначать знаком а направленный угол — знаком таким образом углы /_(а, Ь) и /_(р, а) не отли-

 

') Ср. стр. 55, 56 и 59.

чаются, но (a, b)= — <£.(b, а). При этом направленный угол между двумя прямыми, так же как и обыкновенный угол, не опоеделяется однозначно; так на рис. 2 можно считать, что (а, Ь) = АОВ или что %С(а,Ь)= — /_АОС. Нетрудно видеть, что направленный угол между двумя прямыми определяется с точностью до произволь­ного кратного угла л; так в обозначениях рис. 2 —^/ЛОС — = ^_АОВ—л, а указанный стрелкой больший л угол АОС равен ^/_АОВ-\-л. Обычно под направленным углом между прямыми а и b понимают наименьший по абсолютной величине угол между этими прямыми; в случае, если прямые а и b перпендикулярны,

считают, что <£ (а, Ь) = + ~. В дальнейшем у нас символ (а, Ь)

будет всюду иметь именно это зна­чение; в частности, равенство (а, Ь) = (с, d) будет означать, что наименьшие по абсолютной вели­чине из направленных углов между . а и Л и между cad совпадают по абсолютной величине и по знаку.

Заметим, что, говоря об отноше­нии или произведении двух углов, мы также можем считать эти углы направленными, не задавая заранее никакого направления вращения: на­пример, отношение (а,        d) будет положительно, если направления вращений на наименьший по абсолютной величине угол, переводящих а в b и с в d, совпадают, и отрицательно в противном случае. В частности, так как утвержде­ние о равенстве двух углов означает, что отношение этих углов равно единице, то, говоря о равенстве или неравенстве двух направ­ленных углов, мы не обязаны задавать заранее какое-то определенное направление вращения.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я