• 5

4.5.  Правильные самопересекающиеся многогранники

. Если, говоря о правильных многоугольниках, отказываться от требования, чтобы они были простыми, то мы получим, кроме уже рассмат­ривавшихся ранее, также самопересекающиеся, или звездчатые пра­вильные многоугольники. Пример такого многоугольника — правиль­ный звездчатый пятиугольник — изображен на рис. 58.

Нетрудно показать (мы не будем на этом останавливаться), что стороны звездчатого правильного многоугольника М всегда являются диагоналями некоторого простого правильного многоугольника Мх, стягивающими одно и то же число его сторон. Поэтому для по­строения правильного «-угольника обыкновенно строят простой пра­вильный «-угольник и проводят все его диагонали, стягивающие по

k сторон, где 1 < k < ~ . Если число k взаимно просто с п, то при

 

Рис. 5ь.

этом получается некоторый правильный звездчатый л-угольник; если же k не взаимно просто с л, то получается несколько отдельных ломаных — так называемый распадающийся многоугольник (см. рис. 59, где изображен случай п = 6, k = 2, в котором получаются два тре­угольника). Таким образом, для каждого п существует столько раз­личных (не подобных между собой) правиль­ных звездчатых л-угольников, сколько имеется

целых чисел, заключенных между 1 и ,

взаимно простых с л1): правильный звездча­тый пятиугольник существует только один (рис. 58), правильных звездачатых семиуголь­ников— два (рис. 60 а, б), правильных звездча­тых треугольников, четырехугольников и шести­угольников не существует вовсе.

Правильные звездчатые многоугольники можно получить и иначе. Прямые, на которых лежат стороны любого такого л-уюльника М,

делят всю плоскость на некоторое число частей, одна из которых, называемая ядром данного л-угольника М, представляет собой про­стой правильный л-угольник М0. Поэтому любой звездчатый правиль­ный л-угольник М может быть получен из простого правильного л-угольника М0 продолжением каждой его стороны до пересечения со сторонами, отделяемыми от нее одним и тем же числом k—1

(i<*<f);

ше, если k не взаимно просто с л, мы получаем распадающийся многоугольник.

Перейдем теперь к многогранникам. Если в определении правильного многогранника не требовать, чтобы он был простым, мы получим, кроме уже рассмотренных в п. 4.2 Платоновых многогранников, также самопере­секающиеся, или звездчатые правильные многогранники, называемые еще многогран­никами Пуансо. Укажем- в общих чертах, как можно найти все такие многогранники 2).

 

сторон

при этом, как и вы-

Рис. 59.

■) Таким образом, число различных правильных звездчатых п-уголь-

1

ников может быть записано в виде -g-ф (п), где <р(п) есть употребляемая

в теории чисел функция Эйлера (см. в кн. I ЭЭМ статью «Элементы теории чисел», стр. 280—282).

2) С более подробным изложением этого вопроса читатель может озна­комиться по книге Д. О. Шк л яре кого, Н. Н. Ченцова, И. М. Яглома[5], указанной в конце статьи.

Плоскости граней произвольного звездчатого правильного много­гранника М делят все пространство на некоторое число частей, из которых одна, называемая ядром многогранника М, является простым правильным многогранником УИ0. Многогранник М0 имеет столько же граней, сколько Ж; поэтому правильный звездчатый многогранник на­зывают так же, как его ядро (тетраэдр, додекаэдр и т. п.).

 

Возможны два случая: 1) смежными в многограннике Ж0 являются те же грани, которые смежны в Ж; в этом случае каждой грани а многогранника Ж (которая обязательно должна быть звездчатой) отве­чает грань а0 многогранника Ж„, являющаяся ядром грани а; много­гранник Ж получается в этом случае из своего ядра Ж0 путем продолжения его ребер; 2) смежные грани многогранника Ж не являются смежными в Ж0; в этом случае многогранник Ж полу­чается из Ж0 путем п ро д о л ж е н и я его граней.

Выясним теперь, какие звездчатые многогранники могут быть получены указанными способами из известных нам простых правиль­ных многогранников.

1°. Тетраэдр. Все грани тетраэдра смежны между собой, по­этому продолжение граней тетраэдра не может вести к иели. Звездчатых треугольников не существует, поэтому то же самое можно сказать о продолжении ребер тетраэдра. Поэтому звездчатых тетраэдров не существует.

2°. Октаэдр. Так как грани правильного октаэдра — треуголь­ники, то продолжение ребер октаэдра не ведет к цели. Продолжение же граней правильного октаэдра (каждая грань продолжается до пересе­чения с тремя не смежными и не параллельными ей гранями, см. рис.61) дает распадающийся многогранник — два пра­вильных тетраэдра. Следовательно, звездчатых октаэдров также не существует.

3°. Гексаэдр. Все несмежные ребра и грани правильного гексаэдра (куба) параллельны между собой. Поэтому и звездчатых гексаэдров не существует.

4° . Додекаэдр Продолжение ребер правильного додекаэдра, т. е. замена каждой его грани а звездчатым пятиугольником с ядром а (рис. 62, а), приводит к многограннику, называемому малым звездчатым додекаэдром (рис. 63, а); он имеет 12 звездчатых пяти­угольных граней, 30 ребер и 12 вершин (выпуклых пятигранных углов).

 

Рис. 61.

При продолжении граней правильного додекаэдра (каждая грань продолжается до пересечения с пятью не смежными и не парал­лельными ей гранями) возникают две возможности. Рассматривая в качестве граней нового многогранника получающиеся при этом простые пятиугольники (рис. 62,5), мы приходим к большому додекачдру (рис. 63, б); он имеет 12 выпуклых пятиугольных граней, 30 ребер и 12 вершин (звездчатых пятигранных углов). Рассмат­ривая же в качестве граней соответствующие звездчатые пяти­угольники (рис. 62, в), мы получим большой звездчатый додекаэдр (рис. 63,в); он имеет 12 звездчатых пятиугольных граней, 30 ребер и 20 вершин (трехгранных углов).

Таким образом мы нашли три типа правильных звездчатых до­декаэдров.

5°. Икосаэдр. Так как гранями правильного икосаэдра явля­ются треугольники, то продолжение ребер икосаэдра не дает нового многогранника. При продолжении же граней правильного икосаэдра имеется лишь один случай, приводящий к нераспадающемуся много­граннику— случай, когда каждая грань продолжается до пересечения с тремя гранями, смежными параллельной ей грани (рис. 62, г).

 

 

 

 

 

 

Получаемый при этом многогранник называется большим икосаэдром {рис. 63, г); он имеет 20 треугольных граней, 30 ребер и 12 вершин {звездчатых пятигранных углов).

 

в) ^

Рис. 63.

 

Рис. 64.         Рис. 65.

Итак, существует всего четыре различных (с точностью до подо­бия) звездчатых правильных многогранников. Нетрудно убешться в том, что эти многогранники попарно двойственны друг другу:

малый звездчатый додекаэдр двойствен большому додекаэдру, а большой звездчатый додекаэдр — большому икосаэдру.

Можно рассматривать также аналогично архимедовым многогран­никам (см. п. 4.3) равноугольно полуправильиые самопересекающиеся многогранники. Простейшими примерами таких многогранников яв­ляются многогранники, изображенные на рис. 64 и 65 и получаю­щиеся в результате пересечения взаимных правильных звездчатых многогранников. Первый из них—додекаэдрододекаэдр — имеет 24 пятиугольных грани: 12 простых (как у большого додекаэдра) и 12 звездчатых (как у малого звездного додекаэдра). Второй — додека- эдроикосаэдр — имеет 32 грани: 20 треугольников (как у большого додекаэдра) и 12 звездчатых пятиугольников (как у большого звезд­ного додекаэдра). Всего в настоящее время известен 51 звездчатый равноугольно полуправильный многогранник, но неизвестно, исчерпы­ваются ли ими все такие многогранники.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я