• 5

4.3. Равноугольно полуправильные многогранники

. Для даль­нейшего нам удобно ввести следующие вспомогательные понятия. Назовем звездой вершины А данного многогранника совокупность всех инцидентных ей граней, а также всех вершин и сторон этих граней. Двойственно этому назовем звездой грани а данного много­гранника совокупность всех вершин грани а, а также всех граней и ребер, инцидентных этим вершинам. По отношению к двум звездам (двух вершин или двух граней) мы будем говорить об их изомор­физме в том же смысле, в каком это было определено выше (см. п. 2.1) для двух многогранников. Чтобы задать звезду, например, некоторой вершины с точностью до изоморфизма, достаточно ука­зать число s граней этой звезды, а также число п1 вершин одной из этих граней а,, число пг вершин смежной с ней грани а,, число пг вершин смежной с а4 грани а, и т. д.

Топологически правильны^ многогранники можно охарактеризовать как такие многогранники, у которых звезды всех вершин изоморфны между собой, а звезды всех граней — между собой. Ограничившись только первым из этих двух требований, мы придем к более широ­кому классу многогранников — к так называемым топологически равноугольно полуправильным многогранникам. Итак, многогранник называется топологически равноугольно полуправильным, если звезды всех его вершин изоморфны между собой.

Поставим своей целью перечислить все такие многогранники, ограничиваясь снова лишь многогранниками нулевого рода. При этом мы будем интересоваться лишь многогранниками, не являющимися топологически правильными, т. е. такими многогран­никами, к каждой вершине которых примыкает хотя бы две грани, имеющие различное число вершин.

 

а)         б)         в)

Рис. 52.

Для перечисления всех типов топологически равноугольных по­луправильных многогранников мы будем искать все возможные типы звезд их вершин. Для каждого найденного типа звезды можно (и притом однозначно, за исключением одного-единственного случая) составить схему соответствующего многогранника—так же, как это было сделано в п. 4.1 на примере октаэдра. Отсюда в силу теоремы Штейница будет вытекать существование требуемого многогранника и его единственность с точностью до изоморфизма. Лишь одному типу звезды, который будет указан ниже, отвечают две различные схемы, а поэтому и два неизоморфных между собой многогранника') Мы не будем в каждом случае приводить рассуждений, связанных с построением схемы многогранника, имеющего известный тип звезды любой его вершины; читатель при желании сможет выполнить это самостоятельно, руководствуясь в качестве образца построением схемы октаэдра, приведенным в п. 4.1.

Введем нужные обозначения Пусть снова В, Г и Р— число вер­шин, граней и ребер многогранника, Г, — число /2,-угольных граней, Гг—число /Zj-угольных граней и т. д. Пусть, далее, в каждой вер­шине многогранника сходятся s граней, в том числе s, /2,-уголь- ных граней, s4 я4-угольных и т. д.

Покажем прежде всего, что в каждой вершине многогранника не может сходиться слишком много граней, т. е. оценим число s сверху. Так как в каждой вершине сходятся s ребер, то общее число ребер, подсчитанное по всем вершинам многогранника, будет sB\ так как при этом каждое ребро считается дважды (ибо оно соеди­няет две вершины), то

sB = 2P.         (16)

Каждая грань многогранника имеет     не менее трех ребер; так

как каждое ребро принадлежит двум   граням, то 3Г=sc2Р, или в силу (16),

3 r^sB.            (17)

Из теоремы Эйлера вытекает (так как мы рассматриваем лишь многогранники нулевого рода), что

В+Г>Р.

Пользуясь соотношениями (16) и (17), получим в+-!~в^в+г>р=\ В,

') Интересно отметить, что хотя теория полу правильных многогранников насчитывает более двух тысяч лет, это нарушение единственности было заме­чено лишь недавно.

откуда после простых преобразований находим

s<6.

Таким образом, s может принимать лишь значения 3, 4, 5. Постараемся теперь определить все возможные типы звезд вер­шин данного многогранника, т. е. найти все возможные значения чисел nk и sk.

Все л,-угольные грани содержат с одной стороны п1Г1 плоских углов, а с другой- стороны sxB плоских углов. Следовательно,

S         S

п,Г, = s,B, или Г, = — В. Точно так же Г,= —В и вообще

111     1 п,      » пг

= (18) * nk

Поэтому общее число граней многогранника будет

(19)

Возьмем теперь равенство Эйлера

Г=Р—В+2

и заменим Г и Р их выражениями из равенств (16) и (19):

или

п ' п     2 1 В

 

Для решения поставленной задачи нам предстоит решить урав­нение (20) относительно неизвестных В; sx, s2, ...; л , /г ,... в це­лых положительных числах.

Рассмотрим раздельно различные возможные значения s.

1. s = 3, т. е. в каждой вершине многогранника сходится по три грани. Эти грани могут быть либо двух, либо трех различных типов В первом случае мы можем положить s, = 2, s2=l, а во втором будет s, = s2 = s,= l. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

1) s, = 2, s2= 1.

Уравнение (20) принимает в этом случае вид

T+i-i+T-           (21)

Из уравнения (21) вытекает, что

JL ■

/г, п, " 2 '

т          __ о    1 _ 1   2 111

Так как л.^г 3, то —а потому ——^- = -5-, т. е.

2          пг А     п, 2 3 6

л,< 12.

Далее, из геометрических соображений легко усмотреть, что число л, должно быть четным. В самом деле, пусть АгАг.. • Ап_1— какая-нибудь л,-угольная грань (рис. 53). К вершине Л, должна примыкать еще одна л^угольная грань. Пусть, например, к ребру AtA2 примыкает л,-угольная грань. Тогда в вершине At к ребру АгАг должна примыкать ла-угольная грань и т. д. Продолжая таким же образом, мы должны, дойдя до вершины Ап, получить л,-угольную

грань при ребре A„At; но это возможно, очевидно, только если число сторон грани А1Аг...Ап чет­ное.

Итак, л, может иметь лишь зна­чения 4, 6, 8, 10. Рассмотрим каждый из этих случаев.

а) л, = 4. Уравнение (21) прини­мает в этом случае вид В= 2л2 и определяет целое положительное значение В при любом целом положительном пг = п. Из равенства (18) находим: Г1 = п, Гг = 2. Таким образом, мы пришли к многогран- Рис. 53.    нику с л четырехугольными и двумя

я-угольными гранями и с 2л верши- ■ нами, в каждой из которых сходятся две четырехугольные и одна л-угольная грань. Этот многогранник изоморфен п-угольной призме (рис. 54, а). Итак, мы нашли целую бесконечную серию топологически полуправильных многогранников; из этой серии следует только исклю­чить многогранник, отвечающий значению л = 4, так как он будет топологически правильным.

1112

б) л, •= 6. Уравнение (21) принимает вид "3= +          от"

12/г

куда В=ё——■ Следовательно, в этом случае обязательно л,<6.

О        

При лг = 3 имеем В= 12. Мы приходим к многограннику с 12 вершинами, в каждой hi которых сходятся две шестиугольные и одна треугольная грань (рис. 54, б).

Значению яг = 4 отвечает многогранник, изображенный на рис. 54, в, а значению л2 = 5 — многогранник, изображенный на рис. 54, г.

 

1112

в)         л,= 8. Уравнение (21) дает —+ —= y + откуда Д=

8л ^ = 4          гс ' а потому л,<4, т. е. лг = 3, В =24. Соответствующий

многогранник изображен на рис. 54, д.

ч          ,           1,1       1,2       г, 20яг

г)         л, = 10. Имеем: -+_ = -+-, откуда  е.

снова пг = 3. Соответствующий многогранник изображен на рис. 54, е.

2) s1 = s2 = s, = 1. Из таких же геометрических соображений, какие были приведены в случае 1), вытекает, что теперь все числа л,, пг, л, должны бьиь четными.

Уравнение (20) принимает в нашем случае вид

т          1,1,11

1 ак как в силу этого соотношения —|  1— > то хотя бы

И | Л2 /18 Z

одно из слагаемых в левой части, пусть, например, первое, должно

быть больше = Следовательно, /г, < 6, т. е. /г, = 4. Теперь

уравнение (22) можно переписать в виде

1112

(23)

и-        1 1

Как и выше, отсюда вытекает, что, например, < , т. е.

n2 е

л2 < 8. Следовательно, л2 = 6 (потому что должно быть п,фп1). Теперь уравнение (23) сводится к уравнению

1=1 + 1 п, 12Т В'

из которого следует, что л, < 12. Следовательно, имеются только две возможности: л, = 8 (рис. 54, ж) и л, = 10 (рис. 54, з). Случай s = 3 полностью исчерпан.

II. s=4. Этот случай также распадается на несколько. 1) В каждой вершине сходятся три грани одного типа и одна грань другого: «, = 3, s2 = l.

Уравнение (20) принимает в этом случае вид

- + - = 1+4,     (24)

л, п2 1 В        у '

и из него, так как л„ ^ 3, вытекает, что л, ^ 4.

1 2

При л, = 3 уравнение сводится к уравнению — =—, которое

имеет бесконечно много целых решений: л2 = л, В = 2п. Мы полу­чаем еще одну бесконечную серию топологически полуправильных многогранников, называемых антипризмами (рис. 54, и). При л = 3 антипризма превращается в топологически правильный многогранник — октаэдр.

28 Энциклопедия, кн. 4

 

 

 

 

м;        "J

 

Рис. 54 (продолжение).

Значение же = А определяет единственное значение п2 = 3; этому решению уравнения (24) отвечают два неизоморфных тополо­гически полуправильных многогранника (рис. 54, к, л) с изоморф­ными звездами вершин.

2)         sl = s2 = 2. В этом случае имеем уравнение

9 2       2

-4- — = 1 + —

из которого, как и выше, находим, что til= 3, п2=4 (рис. 54, л) или пх— 3, п2 = 5 (рис. 54, н).

3)         = 2, s2 = s3 = 1. В этом случае из геометрических сообра­жений заключаем, что число пЛ должно быть четным, после чего из уравнения (20):

1^.1+1=1+1 пл 1 я, п.          В

находим, что пг = 4, п2 = 3, п3 = 5 (рис. 54, о).

4) si = s2 = ss = s4=l. В этом случае уравнение (20) принимает

вид

л,

п.

п.

пл

Если положить п1<п2< пг < то п1 >3, 4, п8 ^ 5, п4 ^ 6 + 1 + 1 +        + + ^ = противоречит урав­

 

 

 

нению (25). Таким обра­зом, этот случай оказы­вается в действительно­сти невозможным.

III. ^ = 5. Здесь, как нетрудно убедиться,един­ственный возможный слу­чай будет sl = 4, s2 = 1. В этом случае уравне­ние (20) принимает вид

Рис. 55.

П1 п2

—+ — 2 ' £ ' '

Из этого уравнения находим, что /21 == 3, а п =4 (рис. 54, /г) или п2 = 5 (рис. 54, р).

Итак, мы нашли все топологические типы топологически равно­угольно полу правильных многогранников. Их оказалось всего 14, не считая двух бесконечных серий (а также пяти типов топологически правильных многогранников).

Многогранник называется (метрически) равноугольно полупра- вилъным или архимедовым, если все его грани — правильные много-

угольники, а все многогранные углы равны между собой. Таким же образом, как и в п. 4.2, можно показать, что каждый из найденных нами типов топологически равноугольно полупра­вильных многогранников может быть реализован в виде архимедова много­гранника, и притом един­ственного с точностью до подобия.

Все эти архимедовы многогранники были изоб­ражены на рис. 54 в ка­честве представителей соответствующих тополо­гических типов.

Отметим, что два архимедовых многогранника (рис. 54, мин) могут быть получены как пересечения взаимных правильных многогранников (см. также рис. 55 и 56); эти архимедовы много­гранники имеют грани двух типов — тех же, что и исходные правиль­ные многогранники.

Основные характеристики архимедовых многогранников (за исклю­чением правильных) с указанием их названий приведены в таблице.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я