• 5

7.2. Непротиворечивость и полнота аксиоматики евклидовой плоскости.

 Изложенные факты позволяют доказать и непротиворечи­вость, и полноту аксиоматики геометрии. В самом деле, все аксиомы евклидовой плоскости выполняются, как нетрудно проверить, на арифметической модели, в которой точкой считается каждая пара (х, _у) действительных чисел, прямой называется множество всех точек, удовлетворяющих некоторому уравнению вида (**), понятие

«между» и движения определяются указанным выше способом. Мы не будем проверять выполнение всех аксиом на арифметической мо­дели. Укажем лишь для примера, что если (j^, и (хг, _уг)—две различные точки, то существует единственная прямая, проходящая через эти две точки, а именно прямая

(* — ) (л— Л) — (у — Л Н*г — ) = 0.

(Заметим, что от умножения всех коэффициентов уравнения (**) на одно и то же число прямая не меняется.) Этим проверяется аксио­ма 1°. Весьма просто проверяю 1ся и остальные аксиомы.

Существование арифметической модели показывает непротиворе­чивость аксиом евклидовой геометрии. Далее, рассуждения, прове­денные в начале параграфа, доказывают, что любая модель евклидо­вой плоскости изоморфна арифметической модели (изоморфизм устанав­ливается введением системы координат). Таким образом, любые две мо­дели евклидовой плоскости изоморфны арифметической модели и потому изоморфны между собой. Тем самым установлена полнота аксиоматики.

Отметим в заключение, что арифметическая модель простран­ства (а не плоскости) Евклида строится аналогично, только точками считаются тройки (х, у, z) действительных чисел.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я