• 5

4.2. Правильные многоугольники и многогранники

. Простой многоугольник называется правильным или метрически правильным, если все его стороны равны между собой, и все углы равны между собой (рис. 45). Общеизвестно, что для любого п^3 существует один и только один (с точностью до подобия) правильный «-уголь­ник. Чтобы построить его, достаточно разделить какую-нибудь ок­ружность на п равных частей и соединить последовательно точки деления.

Многогранный угол называется правильным, если все его линей­ные углы равны между собой и все двугранные углы равны между собой.

Простой многогранник называется правильным (точнее—метри­чески правильным\ если все его грани являются правильными мно­гоугольниками, а все многогранные углы — равными правильными многогранными угла­ми. Правильные многогранники называют также Платоновыми многогранни­ками. Нетрудно показать, что все такие многогранники являются выпуклыми.

Каждый правильный многогранник является, очевидно, и топологически пра­вильным. Поэтому не изоморфных между собой правильных многогранников, в отли­чие от многоугольников, может суще­ствовать не больше пяти. Покажем, что их существует ровно пять (т. е. что в каждом классе топологически правильных многогранников имеются метрически правильные много­гранники) и что любой правильный многогранник будет не только изоморфен, но даже подобен одному из этих пяти.

Зная топологический тип правильного многогранника, мы можем построить его схему—так, как сделали это в предыдущем пункте (см. рис. 40, в) на примере октаэдра. Если в качестве граней на этой схеме брать равные правильные многоугольники, то эта схема представит собой развертку искомого многогранника. Таким образом, развертка правильного многогранника определяется его топологическим типом однозначно, если не учитывать лишь произ­вола при выборе длины ребра. Но при данной длине ребра развертка в силу теоремы Коши определяет искомый многогранник однозначно с точностью до положения в пространстве; поэтому, беря ребра разной длины, мы будем получать подобные между собой многогран­ники. Таким образом, если правильный многогранник данного топо­логического типа существует, то он с точностью до подобия един­ствен.

Остается показать, что метрически правильный многогранник действительно существует для каждого из пяти топологических

 

 

 

 

Рис. 47.

Рис. 48.

типов, описанных в п. 4.1. Проведем это доказательство снова на примере октаэдра.

Возьмем четыре равносторонних треугольника и склеим их в пра­вильный четырехгранный угол PABCD (очевидно, это возможно, и притом лишь единственным образом,     ^

с точностью до положения этого четы-            у*

рехгранного угла в пространстве, см.

рис. 46). Это будет один из многогранных      / A\\v\

углов требуемого многогранника. Возьмем    ЛШ,

теперь другой такой же четырехгран-  /далул^^

ный угол и приложим его к первому так, р / [iWlllllTJJl чтобы вершина его совместилась с точкой ^^k^^jBI А, а две грани совпали с гранями РАВ ,       '

и PAD (рис. 47 и 48); это можно сделать         \ v/i i

вследствие равенства граней и двугранных \ у//////

углов. В результате мы получим две новые   \V7//

грани ABQ и ADQ нашего многогранника.      ЧУ

Рассмотрим теперь четырехгранный угол      ^

с вершиной В, имеющей «свободную» грань            Рис. 46

CBQ. Три его плоских угла (лежащих в уже

построенных гранях многогранника) и два двугранных угла (ВРпВА} равны соответственно трем плоским и двум двугранным углам исход­ного четырехгранного угла PABCD-, следовательно, весь четырехгранный

угол В равен четырехгранному углу PABCD, и мы можем еще один экземпляр такого же четырехгранного угла приложить к построенной уже части многогранника так, чтобы его вершина совпала с В, а три грани — соответственно с треугольниками ВСР, BP А и BAQ.

После этого мы тем же путем убедимся, что такой же четырехгранный угол можно приложить вершиной к каждой из точек С, D и Q. Отсюда непосредственно вытекает, что построенный нами многогран­ник PABCDQ метрически правильный. Он называется правильным ■октаэдром (рис. 49, в).

Совершенно аналогично может быть доказано существование метрически правильных многогранников в каждом из остальных че­тырех классов топологически правильных многогранников. Эти

 

г)

Рис. 49.

метрически правильные многогранники называются соответственно правильным тетраэдром (рис. 49, а), правильным гексаэдром или кубом (рис. 49, б), правильным додекаэдром (рис. 45, г), правиль­ным икосаэдром (рис. 49, д).

Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема. Существуют пять различных (с точностью до по­добия) метрически правильных многогранников: правильный тет­раэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правиль­ный додекаэдр и правильный икосаэдр.

Вместе с тем мы видим также, что для каждого метрически правильного многогранника существует двойственный ему метрически правильный многогранник.

Двойственные друг другу правильные многогранники могут быть получены один из другого следующим простым способом. Пусть дан правильный многогранник М', рассмотрим центры всех его граней « примем их за вершины нового многогранника М'. Смежными

 

 

 

 

 

Рис. 50.

вершинами многогранника М' будем считать центры смежных граней многогранника М, а вершинами одной грани М' будем считать центры граней М, сходящиеся в одной вершине (легко видеть, что эти центры будут лежать в одной плоскости). Полученный многогранник М' также будет правильным; кроме того, граням многогранника М соответствуют вершины многогранника М', ребрам М—ребра Ж', вершинам М — грани М' (причем инцидентным элементам многогран­ника М отвечают инцидентные элементы многогранника Ж'), т. е. многогранник М' двойствен многограннику М. Описанное построение изображено на рис. 50, а — д для каждого из пяти пра­вильных многогранников.

В указанной выше конструкции многогранники М и М' играют не равноправную роль (один из них вписан в другой). Иногда удоб­нее пользоваться следующей более симметричной конструкцией. Построим сферу, касающуюся всех ребер данного правильного мно­гогранника М (такая сфера обязательно существует и касается каж­дого ребра в его середине), проведем в середину каждого из ребер радиус этой сферы и повернем каждое ребро (точнее — прямую, на которой лежит ребро) вокруг этого радиуса на 90° (рис. 51). Тогда,

 

Рис. 51.

как нетрудно показать, ребра, принадлежавшие одной грани, после поворота будут проходить через одну точку (рис. 51, а), а ребра, проходившие через одну вершину, расположатся в одной плоскости (рис. 51, б). Следовательно, ребра многогранника М после поворота будут определять новый многогранник М' (тоже правильный!), двой­ственный М (рис. 52).

Два двойственных друг другу правильных многогранника, имею­щих общие середины соответствующих ребер, взаимно перпендику­лярных друг другу, называются взаимными друг другу. Понятие

взаимности, в отличие от понятия двойственности, учитывает не только топологическую структуру двух многогранников, но также и соотношение их размеров и их взаимное расположение.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я