• загрузка...
    5

Таблица 2

загрузка...

N° п/п

п

S

р

в

г

1

3

3

6

4

4

2

3

4

12

6

8

3

3

5

30

12

20

4

4

3

12

8

6

5

5

3

30

20

12

Из наших рассуждений пока не следует, что каждая строка полученной таблицы определяет в действительности некоторый много­гранник. Покажем, что это действительно так, на примере второй строки.

Согласно содержащимся в этой строке значениям п и s искомый многогранник должен иметь треугольные грани, сходящиеся по четыре в каждой вершине. Пусть Л^Л,— одна такая грань. С ней должны

 

быть смежными еще три треугольные грани, указанные схематически на рис. 40, а\ при этом вершины At, Af, Л„ должны быть все раз­личны, так как в противном случае в одной из вершин сходились бы не четыре, а только три грани. Далее, к вершинам Л„ Аг, Ла должно примыкать еще по одной грани, как указано на рис. 40, б. Теперь в вершине Л4 сходятся три грани, причем имеются «свободные» ребра А^АЪ и Л4.Лв; следовательно, к этой вершине должна примыкать еще одна грань, имеющая ребра AtAb и Л4Л6 (рис. 40, в). Теперь в каж­дой вершине Аг, Аг, . ..,Л„ сходятся по четыре треугольных грани, причем «свободных» ребер уже не имеется. Схема, изображенная на

рис. 40, в, есть абстрактный многогранник. По теореме Штейница он может быть реализован в виде выпуклого многогранника (рис. 41); это и есть искомый топологически правильный многогранник (он пред­ставляет собой четырехугольную бипир^миду, называемую также ок­таэдром)', в соответствии с данными второй строки нашей таблицы этот многогранник имеет 12 ребер, 6 вершин и 8 граней.       /' \

Как мы видели, схема, изображенная на /' \ рис. 40, в, однозначно определяется значениями      \ у

п= 3, s = 4. Следовательно, нами доказано /,' \ \ уу

не только существование требуемого много-            \ /

гранника, но и его единственность (с точ-       1 /

ностью до изоморфизма).

Такое же рассуждение может быть проведено и в отношении любой другой строки таблицы 2.            Рис. 41.

Первая строка этой таблицы определяет уже

известный нам тэтраэдр, третья — многогранник, называемый ико­саэдром (рис. 42), четвертая — многогранник, изоморфный четырех­угольной призме и называемый также гексаэдром (рис. 43), пятая — многогранник, называемый додекаэдром (рис. 44).

Таким образом мы приходим к следующему выводу. Теорема. Существует пять различных (не изоморфных между ■собой) типов топологически правильных многогранников: тетра­эдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Возвращаясь к определению топологически правильного многогран­ника, отметим, что понятия грани и вершины фигурируют в нем совершенно симметрично; это означает, что многогранник, двойствен­ный (см выше, п. 2.4) топологически правильному многограннику, также является топологически правильным. Отсюда следует, что для каждого топологически правильного многогранника суще­ствует двойственный ему топологически правильный многогран­ник. Из таблицы 2 видно, что октаэдр двойствен гексаэдру, а додекаэдр — икосаэдру; тетраэдр же двойствен самому себе.

 

Рис. 42.

Рис. 43.

Рис. 44.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я