• 5

§ 4. Правильные многоугольники и многогранники и их обобщения

4.1. Топологически правильные многогранники. Многогранник называется топологически правильным, если все его грани имеют одинаковое число вершин и во всех вершинах сходится одинаковое число граней2). Ясно, что свойство многогранника быть топологически правильным есть его топологическое свойство, так что многогранник, изоморфный топологически правильному многограннику, сам является топологически правильным. Найдем все комбинаторные типы тополо­гически правильных многогранников нулевого рода.

Пусть В, Г и Р — числа вершин, граней и ребер многогранника. Пусть каждая грань многогранника имеет п вершин и в каждой вер­шине сходятся s граней. Так как каждая грань имеет п ребер, то все Г граней будут иметь пГ ребер; но при этом каждое ребро многогранника учитывается дважды (потому что оно принадлежит двум граням). Следовательно,

пГ=2Р.           (12)

') Условие 2), требующее, чтобы развертка имела эйлерову харак­теристику 2, для поверхностей формулируется как условие гомеоморфности ■сфере, а условие 4)-—как условие положительности кривизны

2) Вводить аналогичное понятие для многоугольников не имеет смысла: так как каждая сторона многоугольника имеет две вершины и к каждой вершине примыкают две стороны, то любой многоугольник следовало бы .считать топологически правильным.

Аналогично, подсчитывая ребра, примыкающие к каждой вершине, получаем соотношение

sB = IP.          (13)

Но числа В, Г и Р согласно теореме Эйлера связаны соотноше­нием

В+Г — Р= 2.  (14)

Выражая с помощью равенств (12) и (13) числа В и Г через Р и подставляя в формулу (14), придем к уравнению

s 1 п    '

или, после деления на 2Р:

T+W + *- " (15>

Это уравнение и позволяет найти все возможные (для топологи­чески правильного многогранника) значения s, п и Р. В самом деле, из (15) вытекает неравенство

s + п > 2 '

откуда видно, что хотя бы одно из чисел — и — должно быть J   s п

больше , т. е. хотя бы одно из чисел sun должно быть меньше 4.

Но так как ни одно из чисел s и п по их геометрическому смыслу не может быть меньше чем 3, то должно быгь либо s = 3, либо п = 3.

1 1       1 ^ 1 1 1         ^ с

Далее, так как — ^ , то — > у — "з="б"' т' е"      точн°

так же находим, что и s < 6. Таким образом, мы имеем лишь пять возможностей: либо п= 3, s = 3, 4, 5, либо s = 3, п = 4, 5. Про­верка показывает, что во всех этих случаях число Р, определяемое равенством (15), а также числа Г и В, определяемые равенствами (12) и (13), являются целыми. Находя эти числа в каждом из указанных случаев, мы определим все возможные характеристики топологически правильных многогранников.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я