3.4. Некоторые обобщения на случай кривых поверхностей

. Вопрос о существовании и единственности многогранника, имеющего данную раз­вертку, связан с широким кругом математических вопросов, составляющих содержание так называемой внутренней геометрии поверхностей. Чтобы разобраться в постановке этих вопросов, потребуются некоторые дополни­тельные пояснения.

Предположим, что нам дан выпуклый многогранник М и что мы имеем возможность измерять геометрические величины не вообще в пространстве, а только на поверхности этого многогранника, в таком положении оказа лись бы, например, «двумерные существа», живущие на поверхности дан­ного многогранника и ничего не знающие о трехмерном пространстве, в котором он расположен. Такие существа могли бы измерять длины линий, расположенных на поверхности многогранника, а также углы между ними ') (измерение которых может быть сведено, как легко понять, к изме­рению длин), но такие величины, как, например, углы между гранями были бы недоступны их измерению (по крайней мере непосредственному) Запас геометрических сведений, которые могли бы получить эти двумерные существа о своем многограннике, и составляет содержание внутренней геометрии этого многогранника. В этот запас сведений входило бы, например, понятие о вершине многогранника: вымышленные существа могли бы заметить, что в вершинах, в отличие от других точек поверхно сти многогранника, полный угол меньше чем 360°

Два различных (не равных между собой) многогранника могут иметь одну и ту же внутреннюю геометрию; примерами могут служить хотя бы многогранники, изображенные на рис. 38. Это будет иметь место в том случае, когда многогранники изометричны. Два многогранника назы­ваются изометричными, еслн между точками их поверхностей можно уста­новить взаимно однозначное соответствие так, что каждой лннни на поверх­ности одного многогранника отвечает на поверхности другого линия такой же длины; в этом случае говорят также, что два многогранника имеют Одну и ту же внутреннюю метрику. Упоминавшиеся выше двумерные суще­ства, живущие на поверхностях таких двух многогранников, не могли бы заметить между ними никакой разницы.

Ясно, что задание развертки многогранника однозначно определяет его внутреннюю метрику: на развертке многогранника можно непосредственно выполнять те же измерения, что и на самой его поверхности. Те преобра­зования развертки, которые были указаны в коние п. 3.1 в связи с теоре­мой А. Д. Александрова (объединение смежных граней и, наоборот, разбиение одной грани иа несколько), очевидно, преобра­зуют данную развертку в изометрическую, т. е. сохраняют ее внутреннюю метрику Таким обра­зом, теорема А. Д. Александрова утверждает в действительности существование многогран ннка не с данной разверткой, а с данной внут-

') Следует иметь в виду, что величина угла между двумя линиями, измеренная на поверхности многогранника, вообще говоря, отлична от величины того же угла, измеренной по обычиым правилам измерения углов в про­странстве. Так, например, изображенный на рис. 39 угол между прямыми а и Ь, измеренный на поверхности данного многогранника, следует считать равным сумме углов а и (5, изображенных больше плоского угла между прямыми а и Ь. 27*

там же, ета сумма

ренней метрикой. Далее, теорема Коши показывает, что в классе выпуклых многогранников каждый многогранник однозначно определяется своей внутренней метрикой.

Понятие изометричности (а значит, и внутренней метрики) без всяких изменений может быть перенесено на произвольные поверхности (не являю­щиеся многогранниками), и по отношению к ним возникают те же вопросы существования и единственности. Эти вопросы разрабатывались многими геометрами довольно длительное время и получили окончательное реше­ние (по отношению к выпуклым поверхностям) лишь в сравнительно недав­нее время. Вопрос о существовании выпуклой поверхности с заданной внутренней метрикой был решен А. Д. Александровым в 1948 г.: им было доказано, что требуемая выпуклая поверхность существует тогда и только тогда, когда данная метрика удовлетворяет двум условиям, которые анало­гичны условиям 2) и 4), сформулированным в п. 3.1 (стр. 411) для много гранников ') Интересно отметить, что для доказательства этой своей тео­ремы А. Д. Александров использует теорему о существовании выпуклого многогранника с данной разверткой: данную метрику он заменяет близки­ми к ней развертками многогранников и, построив эти многогранники, переходит от них к искомой поверхности.

Вопрос о единственности выпуклой поверхности с данной внутренней метрикой был окончательно р^шен харьковским геометром А. В. П о г о р е- л о в ы м в 1949 г Им была доказана следующая теорема, существенно обоб­щающая теорему Коши: всякие две изометричные выпуклые поверхности равны между собой.