3.4. Некоторые обобщения на случай кривых поверхностей
. Вопрос о существовании и единственности многогранника, имеющего данную развертку, связан с широким кругом математических вопросов, составляющих содержание так называемой внутренней геометрии поверхностей. Чтобы разобраться в постановке этих вопросов, потребуются некоторые дополнительные пояснения.
Предположим, что нам дан выпуклый многогранник М и что мы имеем возможность измерять геометрические величины не вообще в пространстве, а только на поверхности этого многогранника, в таком положении оказа лись бы, например, «двумерные существа», живущие на поверхности данного многогранника и ничего не знающие о трехмерном пространстве, в котором он расположен. Такие существа могли бы измерять длины линий, расположенных на поверхности многогранника, а также углы между ними ') (измерение которых может быть сведено, как легко понять, к измерению длин), но такие величины, как, например, углы между гранями были бы недоступны их измерению (по крайней мере непосредственному) Запас геометрических сведений, которые могли бы получить эти двумерные существа о своем многограннике, и составляет содержание внутренней геометрии этого многогранника. В этот запас сведений входило бы, например, понятие о вершине многогранника: вымышленные существа могли бы заметить, что в вершинах, в отличие от других точек поверхно сти многогранника, полный угол меньше чем 360°
Два различных (не равных между собой) многогранника могут иметь одну и ту же внутреннюю геометрию; примерами могут служить хотя бы многогранники, изображенные на рис. 38. Это будет иметь место в том случае, когда многогранники изометричны. Два многогранника называются изометричными, еслн между точками их поверхностей можно установить взаимно однозначное соответствие так, что каждой лннни на поверхности одного многогранника отвечает на поверхности другого линия такой же длины; в этом случае говорят также, что два многогранника имеют Одну и ту же внутреннюю метрику. Упоминавшиеся выше двумерные существа, живущие на поверхностях таких двух многогранников, не могли бы заметить между ними никакой разницы.
Ясно, что задание развертки многогранника однозначно определяет его внутреннюю метрику: на развертке многогранника можно непосредственно выполнять те же измерения, что и на самой его поверхности. Те преобразования развертки, которые были указаны в коние п. 3.1 в связи с теоремой А. Д. Александрова (объединение смежных граней и, наоборот, разбиение одной грани иа несколько), очевидно, преобразуют данную развертку в изометрическую, т. е. сохраняют ее внутреннюю метрику Таким образом, теорема А. Д. Александрова утверждает в действительности существование многогран ннка не с данной разверткой, а с данной внут-
') Следует иметь в виду, что величина угла между двумя линиями, измеренная на поверхности многогранника, вообще говоря, отлична от величины того же угла, измеренной по обычиым правилам измерения углов в пространстве. Так, например, изображенный на рис. 39 угол между прямыми а и Ь, измеренный на поверхности данного многогранника, следует считать равным сумме углов а и (5, изображенных больше плоского угла между прямыми а и Ь. 27*
там же, ета сумма
ренней метрикой. Далее, теорема Коши показывает, что в классе выпуклых многогранников каждый многогранник однозначно определяется своей внутренней метрикой.
Понятие изометричности (а значит, и внутренней метрики) без всяких изменений может быть перенесено на произвольные поверхности (не являющиеся многогранниками), и по отношению к ним возникают те же вопросы существования и единственности. Эти вопросы разрабатывались многими геометрами довольно длительное время и получили окончательное решение (по отношению к выпуклым поверхностям) лишь в сравнительно недавнее время. Вопрос о существовании выпуклой поверхности с заданной внутренней метрикой был решен А. Д. Александровым в 1948 г.: им было доказано, что требуемая выпуклая поверхность существует тогда и только тогда, когда данная метрика удовлетворяет двум условиям, которые аналогичны условиям 2) и 4), сформулированным в п. 3.1 (стр. 411) для много гранников ') Интересно отметить, что для доказательства этой своей теоремы А. Д. Александров использует теорему о существовании выпуклого многогранника с данной разверткой: данную метрику он заменяет близкими к ней развертками многогранников и, построив эти многогранники, переходит от них к искомой поверхности.
Вопрос о единственности выпуклой поверхности с данной внутренней метрикой был окончательно р^шен харьковским геометром А. В. П о г о р е- л о в ы м в 1949 г Им была доказана следующая теорема, существенно обобщающая теорему Коши: всякие две изометричные выпуклые поверхности равны между собой.